Question

谁能帮忙解决一下这个定积分问题

:∫[0,1]((ln(1+x))/(1+x^2)dx

Answer 1

解：∫<0,1>[ln(1+x)/(1+x²)]dx=∫<0,π/4>[ln(1+tanz)/(1+tan²z)]*sec²zdz (令x=tanz)
=∫<0,π/4>ln(1+sinz/cosz)dz
=∫<0,π/4>ln[(sinz+cosz)/cosz]dz
=∫<0,π/4>[ln(sinz+cosz)-ln(cosz)]dz
=∫<0,π/4>ln(sinz+cosz)dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=∫<0,π/4>ln[√2sin(z+π/4)]dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=∫<0,π/4>ln(√2)dz+∫<0,π/4>ln[sin(z+π/4)]dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=(π/4)ln(√2)+∫<π/4,0>ln[sin(π/2-y)]d(-y)-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
(在第二个积分中，令z=π/4-y)
=πln2/8+∫<0,π/4>ln(cosy)dy-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=πln2/8+∫<0,π/4>ln(cosz)dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
(在第一个积分中，令z=y)
=πln2/8