Question

复数问题请解答（急用）

什么叫“利用1的立方根，求1/8和-27的立方根”？求翻译。还有就是求解过程（要具体的我比较笨，要让我看得明白，如遇符号请在边上打一个括号注明。谢谢！）

Answer 1

1的立方根有3个，分别是-1/2+isqr(3)/2、-1/2-isqr(3)/2、-1
1/8的立方根等于1的立方根*（1/2）
-27的立方根等于1的立方根*（-3）

Answer 2

(1\2)^3=1\8，(2×2×2=8)。-1\27=(-1\3)^3，(3×3×3=27)。

Answer 3

1的立方根是：1、1(cos2π/3＋isin2π/3)、1(cos4π/3＋isin4π/3)
则：
1/8的立方根是：1/2、(1/2)(cos2π/3＋isin2π/3)、(1/2)(cos4π/3＋isin4π/3)
－27的立方根是：－3、－3(cos2π/3＋isin2π/3)、－3(cos4π/3＋isin4π/3)

追问

那是不是答案就这样写？(1)x^3-1=0,
设x1、x2、x3是1的三个立方根，
(x-1)(x^2+x+1)=0,
x1=1,
x2=-1/2+√3i/2,
x3=-1/2-√3i/2,
（2）(1/8)^(1/3),
x1=1/2,
x2=(1/2)(-1/2+√3i/2)=-1/4+√3i/4,
x3=(1/2)(-1/2-√3i/2))=-1/4-√3i/4,
(-27)^(1/3),
x1=-3,
x2=(-3)(-1/2+√3i/2)=3/2-3√3i/2,
x3=(-3)(-1/2-√3i/2)=3/2+3√3i/2,

追答

是的，最后应该将所有的三角函数值算出来的。

追问

？为什么还要算三角函数？这不是复数题目吗？

追答

可以计算的话，一般都要写出一般形式【a＋bi的形式】，不过写成复数的三角形式也是可以的。

追问

那如果没有写出三角函数直接结束的话会不会被扣分啊？还有就是你说的可以计算的话是什么意思？

追答

可以计算，就是角度是特殊角，那你可以算出来，不算出来直接写成复数的三角形式也是可以的；假如角度不是特殊角，那只能写成复数的三角形式了。
本题既然是“利用1的立方根来仿写”，直接写出答案也是可以的。

追问

还有最后几个问题想问一下，一个是这不是复数题吗？为什么会和三角函数有关系？二是我想知道你们这个复数和三角函数有关系的思路是从书本上的哪里或者其他的什么的地方的来的？三是我觉得下面几位的回答好像也是对的啊，比如1的立方根不就是111吗，为什么是1......？求解

追答

在复数集内，一元三次方程有三个根，一元六次方程有6个根。。。所以，1有三个立方根，或者说，任何数的立方根都有三个【0除外】

追问

不好意思我的财富不够了，麻烦你一次性正面的回答我刚才所提的问题。我也知道1有三个立方根啊，我问的是为什么不是1、1、1？不是1*1*1=1的立方吗？还有为什么会和三角函数有关系？二是我想知道你们这个复数和三角函数有关系的思路是从书本上的哪里或者其他的什么的地方的来的？

追答

1、复数是形式有两种：①z=a＋bi，其中a、b是实数；②z=r(cosw＋isinw)，其中r>0【r称为复数的模，w称为复数的辐角主值(复数表示的向量与x轴正半轴所成的角)，一般取w在[0，2π)】
2、复数三角形式有一定的几何意义：
[r(cosw＋isinw)]^n=[r^n]×[cos(nw)＋isin(nw)]
【这个是定理】
3、利用上述定理可以求任何一个数的三次方根。
4、你所说的1的立方根是1、1、1，其实只算一个根【都是1啊】，所以只能说1的立方根中有一个是1，还有2个不是1

追问

[r(cosw＋isinw)]^n=[r^n]×[cos(nw)＋isin(nw)]
这个定理没怎么看懂求解。还有z=r(cosw＋isinw)这是什么（这个公式的作用和名称是什么）？（最主要是不知道cosw和isinw是什么）OK了没有其他问题了

追答

1、复数的三角形式：z=r(cosw＋isinw)，其中r>0【r称为复数的模，w称为复数的辐角主值(复数表示的向量与x轴正半轴所成的角)，一般取w在[0，2π)】
2、如：
z=1＋√3i
=2[(1/2)＋(√3/2)i]
=2[cos(π/3)＋isin(π/3)]

z=√3－i
=2[(√3/2)－(1/2)i]
=2[cos(11π/6)＋isin(11π/6)]

这个定理书上没有吗？【棣美弗定理】

追问

那本教科书都能烧掉了，我累个区。懂了，完全懂了。恩还有一个附加问题就是我的教科书是上海版的，也就是没有这些知识点的。所以我完全不知道这些东西。（我又是自考——自学的）所以请问有没有什么书本上面的知识点是可以用来参加上海高考的同时又是知识点很全面的？

追答

我们学校的学生用的是苏教版教材，对于上海考生我不是很了解情况，建议你到正规书店去实地考察或咨询下。。