Question

计算二重积分∫∫D e^(x+y)dδ,其中D={(x,y)||x|+|y|=<1}，答案是e-e^(-1)。求详细过程和方法。

我是画出图来计算的，将其分成四分，先算其中一份，然后乘以4，为什么不对

Answer 1

这里分成四份可以，但是不能乘以4
因为 e^(x+y)的图像其实关于x或者y或者原点都不是对称的，所以在这四份的积分并不同
可以算出每一分再相加
也可以分成两份x轴把函数粉为两份
∫ dx ∫ e^(x+y) dy x范围[0,1] y范围是[x-1,1-x]
x范围[-1,0] y范围是[-x-1,1+x]
如果是e^(x^2+y^2)这类的有对称性的函数，可以乘以4

Answer 2

因为4份是不对称的

正确方法是积分变换

设
u=x+y
v=x-y

则
ə(u,v)/ə(x,y)= 1 1
1 -1
|ə(u,v)/ə(x,y)| = 2

积分=∫(-1→1)∫(-1→1)e^u * (1/2) dudv
=(1/2)∫(-1→1)e^udu∫(-1→1)dv
=(1/2) e^u(-1→1) *2
=e-1/e

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追问

你是怎样判断不对称的

追答

把http://zhidao.baidu.com/question/418328477.html采了吧

Answer 3

f（x，y）既不是奇函数也不是偶函数

没法利用二重积分的奇偶性