Question

对于函数f(x)=[(x^2-1)(x^2-4)]^(2/3),下列能满足罗尔定理条件的区间是（）

A. [0,√5]
B. [-1,1]
C. [-2,1]
D. [-1,2]

Answer 1

解：洛尔定理：　设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续（其中a不等于b），在开区间(a,b)上可导， 　　且f(a)=f(b)，那么至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0
f(x)=[(x^2-1)(x^2-4)]^(2/3)=（x^4-5x²+4)^(2/3)
所以，f‘(x)=(2/3)[(x^4-5x²+4)^(1/3)]*(4x³-10x)
显然在R上都可导
而f(0)=4^(2/3)=f(√5)=4^(2/3),
f(-1)=f(1)=-1
f(-2)=f(1)
f(-1)=f(2)
显然都满足f(a)=f(b)，
令f‘(x)=(2/3)[(x^4-5x²+4)^(1/3)]*(4x³-10x)=0
解得：x=0或x=1或x=-1，或x=2或x=-2，或x=√10/2或x=-√10/2
A选项，存在0＜x＜√5，使得 f'(ξ)=0的有1，2，√10/2，A正确。
B选项，存在-1＜x＜1，使得 f'(ξ)=0的有0，B正确。
C选项，存在-2＜x＜1，使得 f'(ξ)=0的有-1，0，-√10/2，C正确。
D选项，存在-1＜x＜2，使得 f'(ξ)=0的有0，1，√10/2，D也正确。
所以，选A、B、C、D

Answer 2

CD