Question

关于x的方程x^4+(k-1)x^3+kx^2+(k-1)x+1=0没有实数根，求k的取值范围。

Answer 1

x^4+(k-1)x^3+kx^2+(k-1)x+1=0
↔ x^4-x^3-x+1+kx^3+kx^2+kx=0
↔ x^3*(x-1)-(x-1)+kx*(x^2+x+1)=0
↔ (x^3-1)(x-1)+kx*(x^2+x+1)=0
↔ (x^2+x+1)*(x-1)^2+kx*(x^2+x+1)=0
↔ (x^2+x+1)*[(x-1)^2+kx]=0
要使方程x^4+(k-1)x^3+kx^2+(k-1)x+1=0没有实数根，则要求方程(x^2+x+1)*[(x-1)^2+kx]=0
而方程x^2+x+1=0的△=(-1)^2-4=-3<0，显然没有实数根
所以就要求方程(x-1)^2+kx=0没有实数根，即方程x^2+(k-2)x+1=0没有实数根
则：△=[-(k-2)]^2-4*1*1<0，即(k-2)^2<4 → -2<k-2<2 → 0<k<4，所以k的取值范围为(0,4)

Answer 2

显然x不等于0
x^2+1/x^2+(k-1)(x+1/x)+k=0
（x+1/x)^2+(k-1)(x+1/x)+k-2=0
(x+1/x+1)(x+1/x+k-2)=0
x+1/x+1=0,或 x+1/x+k-2=0
x^2+x+1=0，或x^2+(k-2)x+1=0
x^2+x+1=0显然无实根，只要x^2+(k-2)x+1=0 无实根即可，所以
(k-2)^2-4<0
k^2-4k+4-4<0, k^2-4k<0
故得：0<k<4
k的取值范：（0,4）

追问

谢谢！