Question

设{an}是由正数组成的等比数列,公比为q,Sn是其前n项和。(1)若q=2,

设{an}是由正数组成的等比数列，公比为q，Sn是其前n项和。（1）若q=2，且S1-2，S2，S3成等差数列，求数列{an}的通项公式；（2）求证：对任意正整数n，Sn，S(n+1)，S(n+2)不成等比数列

Answer 1

解第一小题：
Sn是{an}的前n项和，所以：
S3-s2=a3 ...............(1)
S2-S1=a2 ...............(2)
因为：S1-2，S2，S3成等差数列，所以我们知道：
S3-S2=S2-(S1-2)...........(3)
将（1）（2）代入（3），即得到：
a3=a2+2 ............(4)
由于{an}是公比为2的等比数列，所以：
a3=2*a2 .............(5)
由（4）（5）易知，a2=2，a3=4，
那么显然a1=1。
所以，这个{an}通项公式就是，an=2^(n-1) （意思是2的n-1次方。）
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证第二小题：
用反证法。
如果存在正整数n，使得Sn，S(n+1)，S(n+2)能构成等比数列，则应该有：
S(n+1)^2=Sn*S(n+2)............................(1)
************先讨论公比不为1。对于公比q不为1的数列{an}，我们有：
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q) ............................(2)
S(n+1)=a1*(1-q^(n+1))/(1-q)........................(3)
S(n+2)=a1*(1-q^(n+2))/(1-q)........................(4)
(2)(3)(4)代入(1)，消去所有的a1/(1-q)，有：
(1-q^(n+1))^2=(1-q^n)*(1-q^(n+2))
展开整理，解得q=1，这和前面所说q不为1矛盾。所以不存在Sn，S(n+1)，S(n+2)成为等比数列的可能性。公比不为1的情况证毕。
*************再讨论公比为1的情况。如果公比是1，那种情况数列{an}就是常数列，假设它的每一项都是常数a（a不为0），则Sn=n*a。
要使得S(n+1)^2=Sn*S(n+2)，由于a不为0，消去a，得到(n+1)^2=n(n+2)，得出1=0，矛盾。

证毕。