Question

如图，AC=BC，∠ACB=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，过B作BE⊥AD于E，请你说明BE与AD的长度关系

如图，AC=BC，∠ACB=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，过B作BE⊥AD于E，请你说明BE与AD的长度关系(提示：延长AC、BE交于点F）

Answer 1

∠ACB=90°=∠ACD=∠BED;
∠ADC=∠BDE,
故∠CAD=∠EBD;
AC=BC,
∠ACD=∠BCF=90°,
所以RT△ACD≌RT△BCF,[ASA]
AD=BF;
∠FAE=∠BAE,
AE=AE,
∠AEF=∠AEB=90°,
所以RT△AEF≌RT△AEB,[ASA]
FE=BE
BE=BF/2=AD/2.

Answer 2

证明：延长AC、BE交于点F
∵BE⊥AD
∴∠AEB＝90
∴∠EBD+∠BDE＝90
∵∠ACB＝90
∴∠CAD+∠ADC＝90
∵∠ADC＝∠BDE
∴∠EBD＝∠CAD
∵∠BCF＝180-∠ACB＝90
∴∠BCF＝∠ACB
∵AC＝BC
∴△ACD≌△BCF
∴AD＝BF
∵AD平分∠CAB，BE⊥AD
∴BE＝EF （等腰三角形三线合一：中线、高、角平分线）
∴BF＝2BE
∴AD＝2BE

Answer 3

延长BE交AC的延长线于F
∵AE⊥BE AE平分∠CAB
∴AE垂直平分BF
∴△CFB≌△ACD(AAS)
[∠BFA=∠ADC
∠FCB=∠ACD=90º
AC=BC]
∴AD=BF=2BE