Question

高一数学数列

已知S（X)=a1X+a2X²+......+anXn次方，且a1,a2,...an组成等差数列，n为正偶数，设S（1）=n²，S（-1）=n。
求数列｛an｝的通项公式；证明S（1/2）＜3

Answer 1

S(1)=a1＋a2＋a3＋…＋an=Sn=n²，则：
当n=1时，a1=S1=1
当n≥2时，有：an=Sn－S(n－1)=2n－1
显然，an=2n－1
则：
S(1/2)=1＋3×(1/2)＋5×(1/2)²＋7×(1/2)³＋…＋(2n－1)×(1/2)^n
(1/2)S(1/2)=1×(1/2)＋3×(1/2)²＋5×(1/2)³＋…＋(2n－1)×(1/2)^(n＋1)
两式相减，得：
(1/2)S(1/2)=1＋2[(1/2)＋(1/2)²＋(1/2)³＋…＋(1/2)^n]－(2n－1)×(1/2)^(n＋1)
S(1/2)=3－(2n)×(1/2)^(n＋1)<3

Answer 2

解：
设该等差数列公差为d，
S(1)=a1+...+an=n^2，则：
n(a1+an)/2 = n^2
a1+an=2n
∴2a1+(n-1)d=2n ...................................(1)
S(-1)=-a1+a2-a3+a4....+an=n，则：
(a2-a1)+(a4-a3)+.....+(an-a(n-1))=n
dn/2 = n，
∴d=2带入（1），则：
a1=1
∴an=1+2(n-1)=2n-1
证明：
S(1/2) = a1*1/2 + a2* 1/4 + a3* 1/8 +...+a(n-1)*1/2^(n-1)+an*1/2^n...........(2)
S(1/2)/2 = a1*1/4 + a2* 1/8 + a3* 1/16 +.............+a(n-1)*1/2^n + an*1/2^(n+1).........(3)
(2)-(3):
S(1/2)/2 =a1*1/2+2*1/4+2*1/8+........+2*1/2^n - an*1/2^(n+1)
=1/2+1-(1/2)^(n-1)-(2n-1)*1/2^(n+1)
∴S(1/2)=3-(1/2)^(n-2)-(2n-1)*1/2^(n+1)<3
即：S(1/2)<3

Answer 3

an =2n-1