Question

（1+2x）^n的展开式中第6项与第7项的系数相等。求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项？

Answer 1

由二项式定理及已知条件可得，C(n，5)*2^5=C(n，6)*2^6 ，
所以 n!/[5!*(n-5)!]*2^5=n!/[6!*(n-6)!]*2^6 ，
约分后得 1/(n-5)=2/6 ，
解得 n=8 ，
因此，展开式中二项式系数最大的项是第5项，T5=C(8，4)*(2x)^4=1120x^4 。
因为 Tr/T(r+1)=C(8，r-1)*2^(r-1)/[C(8，r)*2^r]=r/[2(9-r)] ，
当 r/[2(9-r)]>1 时，r>6 ，当 r/[2(9-r)]=1 时，r=6 ，当 r/[2(9-r)]<1 时，r<6 ，
由此知，系数最大的项是第6项或第7项，它们的系数相等，
其第6项为 T6=C(8，5)*(2x)^5=1792x^5 ，第7项为 T7=C(8，6)*(2x)^6=1792x^6 。

追问

thank you，可是为什么也有很多人会得出n=11呢？

追答

那是把系数与二项式系数这两个概念弄错了。
如果是第6项与第7项的二项式系数相等，则 C(n，5)=C(n，6) ，所以 n=11 。