Question

已知函数f(x)=1/2sin2x·sinα+cos^2x·cosα-1/2sin(π/2+α)(0＜α＜π),其图像过点（π/6,1/2)

1.求α（我求出来是α=2kπ+π/3，k∈Z，不知道对不对）
2.若不等式2f（x+π/6)<cos^2x-2m·sinx+2m+1对x∈[0，π/2]恒成立，求实数m的取值范围
答案不是这个

Answer 1

f(x)=1/2sin2x·sinα+cos^2x·cosα-1/2sin(π/2+α)
f(x)=1/2sin2xsina+(cos2x+1)/2cosa-1/2cosa
f(x)=1/2sin2xsina+1/2cos2xcosa
f(x)=1/2cos(2x-a)
其图像过点（π/6,1/2)
f(π/6)=1/2=1/2cos(π/3-a)
cos(π/3-a)=1
aE(0，π)
-aE(-π,0)
π/3-aE(-2/3π,π/3)
π/3-a=0
a=π/3
f(x)=1/2sin2xsina+1/2cos2xcosa
f(x
2\ 2f(x+π/6)=2*1/2cos(2（x+π/6）-π/3)=cos2x<cos^2x-2m·sinx+2m+1
即：2cos^2x-1<cos^2x-2msinx+2m+1
0<-cos^2x-2msinx+2m+2
sin^2x-2msinx+2m+1>0
恒成立。x∈[0，π/2]
sinxE[0,1]
设t=sinx tE[0,1]
令g(t)=t^2-2mt+2m+1
要使g(t)>0恒成立，必须g(t)最小值>0
g'(t)=2t-2m=0时,即t=m时，有最小值. 当t>m时为增， t<m为减。
当mE[0,1]时
最小值为：g(m)=m^2-2m^2+2m+1=-m^2+2m+1>0 m^2-2m-1<0
mE(1-根号2,1+根号2)
m E [0,1]时恒成立。
当m>=1时，g(t)，tE [0,1]为减。 最小值为g(1)=1-2m+2m+1=2>0，g(t)大于0,所以成立。
当m<=0,时，g(t) 为增，最小值为g(0)=2m+1,g(t)不能恒大于0
因此，m的取值范围应为mE[0,无穷大）。

Answer 2

思路：对于第一问吧点代入函数即可，但要注意a的取值范围
第二问应该先把式子两边整理一下，把m化到一边，再结合三角函数的图像予以解决。