Question

若a，b是两个不共线的非零向量，t属于R，

1.若a，b起点相同，t为何值时，a，tb，（a+b）/3三向量的终点在一直线上？
2.若|a|=|b|且a，b夹角为六十度，t为何值时，|a-tb|的值最小？

Answer 1

1）由 (a+b)/3=1/3*a+1/3*b=1/3*a+1/(3t)*tb ，
则 1/3+1/(3t)=1 ，所以 t=1/2 。
2）令 |a|=|b|=2m ，则 a*b=|a|*|b|*cos60=2m^2 ，
所以，由 (a-tb)^2=a^2-2t*a*b+t^2*b^2=4m^2(1-t+t^2)
=4m^2*[(t-1/2)^2+3/4] ，得
当 t=1/2 时，|a-tb| 值最小 。

Answer 2

设向量OA=a,OB=tb,OC=1/3(a+b),
若三向量终点在一直线上，必有向量AC=mAB,其中m
为实数，
向量AC＝OC－OA＝（b－2a）／3，
向量AB＝tb－a，
则有（b－2a）／3＝m（tb－a），
对应系数成比例。可得m＝2／3，t＝1／2．
(2)
∵|a-tb|^2=a^2+t^2*a^2-2tab
且|a|=|b|
∴|a-tb|^2=(t^2-t+1)a^2
∴当T=1/2时取得最小值（对称轴）