Question

已知函数f(x)=ax/x^2+b在x=1处取得极值2 定义域,值域均为[m,n]，（0≤m＜n)试求所有满足条件的区间[m,n]。

Answer 1

f'(x)=(ax^2+ab-2ax)/(x^2+b)^2
在x=1处取得极值2
f'(1)=(ab-a)/(1+b)^2=0 ab-a=0 b=1
f(1)=a/(1+b)=2 a=4
f(x)=4x/(x^2+1)

f'(x)=(4x^2+4-8x^2)/(x^2+1)^2=4(1-x^2)/(x^2+1)^2
f'(x)=0 x=-1或x=1
x x<-1 -1 -1<x<1 1 x>1
y' - 0 + 0 -
y 减 极小值 增 极大值 减
（1） n<=1 f(x)在【m,n】为增函数
f(m)=4m/(m^2+1)=m m=0 m=±√3 0≤m＜n m=0
f(n)=4n/(n^2+1)=n n=0 n=±√3 n<=1 不存在
（2） m>=1 f(x)在【m,n】为增减函数
f(m)=4m/(m^2+1)=n 4m=n(m^2+1) 4m=n*m^2+n
f(n)=4n/(n^2+1)=m 4n=m(n^2+1) 4n=m*n^2+m 相减
4(m-n)=mn(m-n)-(m-n)
5(m-n)=mn(m-n)
mn=5 n=5/m
4m/(m^2+1)=5/m 5m^2+5=4m^2 m^2+5=0 不存在
（3）m<1<n
最大值=f(1)=2 n=2
f(m)=4m/(m^2+1)=m m=0 f(m)=0
f(n)=f(2)=8/5<2
所以 m=0 n=2 值域为[0,2]
所满足条件的区间[0,2]。