Question

在等边三角形ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连接线段BP ,将三角形ABP绕

点P 按顺时针方向旋转a度（0°《a《180°）角，得到三角形A1B1P，连接AA1,射线AA1分别交射线PB,BB1与点E,F.
(1)当0°<a<60°时，在a角变化过程中，三角形BEF与三角形AEP始终存在（ ）关系（填“相似”或“全等”）并说明理由。
（2）设角ABP=B，当60°<a<180°时，在a角变化过程中，是否存在三角形BEF与三角形AEP全等？若存在，求出a与B之间的数量关系；若不存在，请说明理由
（3）当a=60°是，点E,F与点B重合。已知AB=4,设DP=X,三角形A1BB1的面积为S，求S关于X的函数关系式。

Answer 1

（1） 相似
由题意得：∠APA1=∠BPB1=α AP= A1P BP=B1P
则 ∠PAA1 =∠PBB1 =
∵∠PBB1 =∠EBF ∴∠PAE=∠EBF
又∵∠BEF=∠AEP
∴△BEF ∽△AEP
（2）存在，理由如下：
易得：△BEF ∽△AEP
若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可
∴∠BAE=∠ABE
∵∠BAC=60° ∴∠BAE=
∵∠ABE=β ∠BAE=∠ABE
∴ 即α=2β+60°
（3）连结BD，交A1B1于点G，
过点A1作A1H⊥AC于点H.

∵∠B1 A1P=∠A1PA=60° ∴A1B1∥AC
由题意得：AP= A1 P ∠A=60°
∴△PAA1是等边三角形
∴A1H= 在Rt△ABD中，BD=
∴BG=
∴ （0≤x＜2）

Answer 2

（1） 相似
由题意得：∠APA1=∠BPB1=α AP= A1P BP=B1P
则 ∠PAA1 =∠PBB1 = （180°-α ）/2=90°-α /2
∵∠PBB1 =∠EBF ∴∠PAE=∠EBF
又∵∠BEF=∠AEP
∴△BEF ∽△AEP
（2）存在，理由如下：
易得：△BEF ∽△AEP
若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可
∴∠BAE=∠ABE
∵∠BAC=60° ∴∠BAE=60°-（90°-α /2）=α /2-30°
∵∠ABE=β ∠BAE=∠ABE
∴ 即α=2β+60°
（3）连结BD，交A1B1于点G，
过点A1作A1H⊥AC于点H.
∵∠B1 A1P=∠A1PA=60°
∴A1B1∥AC
由题意得：AP= A1 P ∠A=60°
∴△PAA1是等边三角形
∴A1H=根号3/2（2+x）
在Rt△ABD中，BD=2倍根号3
∴BG=2倍根号3-根号3/2（2+x）=根号3-根号3/2x
∴S△A1BB1=1/2×4×（根号3-根号3/2x）=2倍根号3 -根号3x （0≤x＜2）

Answer 3

（1） 相似
由题意得：∠APA1=∠BPB1=α AP= A1P BP=B1P
则 ∠PAA1 =∠PBB1 =
∵∠PBB1 =∠EBF ∴∠PAE=∠EBF
又∵∠BEF=∠AEP
∴△BEF ∽△AEP
（2）存在，理由如下：
易得：△BEF ∽△AEP
若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可
∴∠BAE=∠ABE
∵∠BAC=60° ∴∠BAE=60°-（90°-α /2）=α /2-30°
∵∠ABE=β ∠BAE=∠ABE
∴ 即α=2β+60°
（3）连结BD，交A1B1于点G，
过点A1作A1H⊥AC于点H.
∵∠B1 A1P=∠A1PA=60° ∴A1B1∥AC
∵AP= A1 P ∴AB=AC=4
∵D是AC中点 ∴AD=二分之一AC=2
∵DP=x∴AP=A1P=2x
在Rt△A1AH中∠A1HA=90°
sin60°=二分之√3=A1H：2+x
2A1H=2√3+√3 x
A1H=二分之（2√3+√3）
在Rt△ABD中，∠BDA=90°
sin60°=√3／2=BD／4
2BD=4√3
BD=2√3
∴BG=2√3-『(2√3+√3X)／2』
=(4√3-2√3-√3X)／2
=(2√3-√3X)／2
∴S△A1BB1=﹙1／2﹚×4×[﹙2√3－√3X ﹚／2]
=2√3－√3 x﹙0≤x＜2﹚

Answer 4

解：（1）相似（1分）
由题意得：∠APA1=∠BPB1=α，AP=A1P，BP=B1P，
则∠PAA1=∠PBB1=180°-α 2 =90°-α 2 ，（2分）
∵∠PBB1=∠EBF，
∴∠PAE=∠EBF，
又∵∠BEF=∠AEP，∠EBF=∠EAP，
∴△BEF∽△AEP；（3分）

（2）存在，理由如下：（4分）
易得：△BEF∽△AEP，
若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可，（5分）
∴∠BAE=∠ABE，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=60°-(90°-α 2 )=α 2 -30°，
∵∠ABE=β∠BAE=∠ABE，（6分）
∴α 2 -30°=β，
即α=2β+60°；（7分）

（3）连接BD，交A1B1于点G，
过点A1作A1H⊥AC于点H．
∵∠B1A1P=∠A1PA=60°，
∴A1B1∥AC，
由题意得：AP=A1P=2+x，∠A=60°，
∴△PAA1是等边三角形，
∴A1H=sin60°A1P= 3 2 (2+x)，（8分）
在Rt△ABD中，BD=2 3 ，
∴BG=2 3 - 3 2 (2+x)= 3 - 3 2 x，（9分）
∴S△A1BB1=1 2 ×4×( 3 - 3 2 x)=2 3 - 3 x（0≤x＜2）．（10分）

Answer 5

（1） 相似
由题意得：∠APA1=∠BPB1=α AP= A1P BP=B1P
则 ∠PAA1 =∠PBB1 =
∵∠PBB1 =∠EBF ∴∠PAE=∠EBF
又∵∠BEF=∠AEP
∴△BEF ∽△AEP
（2）存在，理由如下：
易得：△BEF ∽△AEP
若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可
∴∠BAE=∠ABE
∵∠BAC=60° ∴∠BAE=
∵∠ABE=β ∠BAE=∠ABE
∴ 即α=2β+60°
（3）连结BD，交A1B1于点G，
过点A1作A1H⊥AC于点H.

∵∠B1 A1P=∠A1PA=60° ∴A1B1∥AC
由题意得：AP= A1 P ∠A=60°
∴△PAA1是等边三角形
∴A1H= 在Rt△ABD中，BD=
∴BG=
∴ （0≤x＜2）