Question

如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合）．在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于H，AD与BC

如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合）．在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于H，AD与BC交于P，BE与CD交于Q，连接PQ、CH．则∠AHC=∠CHE吗？并说明理由？

Answer 1

在△ACD和△BCE中
∵△ABC和△CDE是等边△
∴BC=AC CE=CD
∠BCA=∠BAC=∠ABC=∠DCE=∠DEC=∠CDE=60°
∴∠BCA+∠BCD=∠DCE+∠BCD 即∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE
∴∠ADC=∠BEC ∠CBE=∠CAD
在△DQH和△CEQ中
∠ADC=∠BEC ∠HQD=∠CQE
∴ △DQH∽△CEQ
∴HQ/CQ=DQ/EQ 即HQ×EQ=CQ×DQ
∴C、E、D、H四点共圆
∴∠CHE=∠CDE=60°
同理在△ACP与△BPH中证明相似
得BP×PC=AP×PH
得A、C、H、B四点共圆
∠ABC=∠AHC=60°
∴∠AHC=∠CHE

追问

因为HQ×EQ=CQ×DQ所以C、E、D、H四点共圆，初中现在有这个托勒密定理的逆定理么？

追答

这个不是托勒密定理的逆定理，这个是根据相交弦定理​的逆定理证明的
快30年没有教数学了，对现在的教材不熟悉。