Question

把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合.......

Answer 1

解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：CD=AD：CQ．
∴即AP×CQ=AD×CD，
∵AB=BC=4，
∴斜边中点为O，
∴AP=PD=2，
∴AP×CQ=2×4=8；
故答案为：8．

（2）AP•CQ的值不会改变．
理由如下：
∵在△APD与△CDQ中，∠A=∠C=45°，
∠APD=180°-45°-（45°+α）=90°-α，
∠CDQ=90°-α，
∴∠APD=∠CDQ．
∴△APD∽△CDQ．
∴
AP
AD
=
CD
CQ
．
∴AP•CQ=AD•CD=AD2=（
1
2
AC）2=8．

（3）情形1：当0°＜α＜45°时，2＜CQ＜4，即2＜x＜4，
此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ，过D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N，
∴DG=DN=2
由（2）知：AP•CQ=8得AP=
8
x

于是y=
1
2
AB•BC-
1
2
CQ•DN-
1
2
AP•DG
=8-x-
8
x
（2＜x＜4）
情形2：当45°≤α＜90°时，0＜CQ≤2时，即0＜x≤2，此时两三角板重叠部分为△DMQ，
由于AP=
8
x
，PB=
8
x
-4，易证：△PBM∽△DNM，
∴
BM
MN
=
PB
DN
即
BM
2-BM
=
PB
2
解得BM=
2PB
2+PB
=
8-4x
4-x
．
∴MQ=4-BM-CQ=4-x-
8-4x
4-x
．
于是y=
1
2
MQ•DN=4-x-
8-4x
4-x
（0＜x≤2）．
综上所述，当2＜x＜4时，y=8-x-
8
x
．
当0＜x≤2时，y=4-x-
8-4x
4-x
（或y=
x2-4x+8
4-x
）．