Question

利用拉格朗日中值定理证明不等式

利用拉格朗日中值定理证明不等式
当h＞0时，h／（1＋h^2）＜arctan h＜h

Answer 1

另f（x）＝arctanx，则f'（x）＝1/（1＋x^2） 由拉格朗日中值定理有存在实数c，使得f（x）－f（x0）＝f'（c）（x－x0） 再此取x0＝0，则f（0）＝0 应用上面的等式，便有arctanx=x/(1+c^2)，其中0＜c＜x 又由0＜c＜x知1＜1＋c^2＜1＋x^2 所以1/（1＋x^2） ＜1/（1＋c^2） ＜1 又因为x＞0，所以x/(1+x^2)<x/(1+c^2)<x 故原不等式成立。

Answer 2

证明：考虑区间[0,h],对函数arctan h由拉格朗日中值定理，存在区间[0,h]的点a，使得：
arctan h=h/(1+a^2),即：h／（1＋h^2）＜arctan h＜h