利用拉格朗日中值定理证明不等式

利用拉格朗日中值定理证明不等式当h>0时,h/(1+h^2)<arctanh<h... 利用拉格朗日中值定理证明不等式
当h>0时,h/(1+h^2)<arctan h<h
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2718281828xjy
2012-05-03 · TA获得超过514个赞
知道答主
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另f(x)=arctanx,则f'(x)=1/(1+x^2) 由拉格朗日中值定理有存在实数c,使得f(x)-f(x0)=f'(c)(x-x0) 再此取x0=0,则f(0)=0 应用上面的等式,便有arctanx=x/(1+c^2),其中0<c<x 又由0<c<x知1<1+c^2<1+x^2 所以1/(1+x^2) <1/(1+c^2) <1 又因为x>0,所以x/(1+x^2)<x/(1+c^2)<x 故原不等式成立。
nsjiang1
2012-05-03 · TA获得超过1.3万个赞
知道大有可为答主
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证明:考虑区间[0,h],对函数arctan h由拉格朗日中值定理,存在区间[0,h]的点a,使得:
arctan h=h/(1+a^2),即:h/(1+h^2)<arctan h<h
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