Question

已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)<4的解集为M. (1)求M(2)当a,b属于M

已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)<4的解集为M. (1)求M(2)当a,b属于M时,证明：2|a+b|<|4+ab|

Answer 1

当x＞1时f（x）=x+1+x-1=2x，2x＜4得x＜2
当-1≤x≤1时，f（x）=x+1-x+1=2,2＜4恒成立
当x＜-1时，f（x）=-x-1-x+1=-2x，-2x＜4得x＞-2
于是M={x|-2＜x＜2}
（2）|4+ab|²-4|a+b|²=16+a²b²-4a²-4b²
=（4-a²）（4-b²），因为a，b∈M，所以4-a²＞0,4-b²＞0
于是（4-a²）（4-b²）＞0，所以：2|a+b|<|4+ab|

Answer 2

解：(1)|x+1|+|x-1|<4
若x>1,则原式为x+1+x-1<4,x<2,∴ {x|1<x<2}
若-1≤x≤1,则原式为x+1+1-x<4成立，∴{x|-1≤x≤1}
若x <-1，则原式为-x-1+1-x<4,x>-2 ∴{x|-2<x<-1}
则M集合为M={x|-2<x<2}
(2)）要证明2|a+b|<|4+ab|只需证明|4+ab|²-4|a+b|²>0即可
|∵4+ab|²-4|a+b|²=16+a²b²-4a²-4b²
=(4-a²)(4-b²)，
∵a，b∈M，所以4-a²＞0,4-b²＞0
于是(4-a²)(4-b²)＞0，
∴2|a+b|<|4+ab|

Answer 3

|x+1|+|x-1|<4
1）当x =<-1
-x-1+1-x<4
x>-2
2)当-1<x <1
1+x+1-x<4 恒成立
3)当1=<x
1+x+x-1<4
x<2
综合所得：-2<x<2
2）
2|a+b|<|4+ab| 两边平方
4a^2+4b^2+8ab<16+8ab+(ab)^2
整理 0<16+(ab)^2-4a^2-4b^2
（a^2-4）(b^2-4)>0
因为 a,b属于M时 a^2<4 b^2<4
（a^2-4）(b^2-4)>0
恒成立

Answer 4

1.零点为-1和1，长度2,4-2=2,2/2=1，-1-1=-2,1+1=2，所以解集为【-2，2】。2 .2|a+b|<|4+ab|成立，只需a2b2+16>4a2+4b2 只需 a2(b2-4)>4(b2-4) 因为 b2-4<0 只需 a2<4 而a属于【-2，2】，a2<4 成立，所以2|a+b|<|4+ab|成立

Answer 5

利用其几何意义，M={xl-2<x<2}