Question

已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)<4的解集为M. (1)求M(2)当a,b属于M

已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)<4的解集为M. (1)求M(2)当a,b属于M时,证明：|a+b|<|4+ab|

Answer 1

1. x<=-1 f(x)=|x+1|+|x-1|=-x-1-x+1=-2x
-1<x<1 f(x)=|x+1|+|x-1|=x+1-x+1=2
x>=1 f(x)=|x+1|+|x-1|=x+1+x-1=2x
-2x<4 x>-2 -2<x<=-1
2<4 -1<<1
2x<4 1<=x<2
不等式f(x)<4的解集M=(-2，2)

2. (a+b)^2-(4+ab)^2<=4(a+b)^2-(4+ab)^2=(2a+2b-ab-4)(2a+2b+ab+4)
=-(ab-2a-2b+4)(a (a+b)^2-(4+ab)^2b+2a+2b+4)
=-(2-a)(2-b)(2+a)(2+b)
=-(4-a^2)(4-b^2) a,b∈(-2,2) a^2,b^2∈(0,4)
4-a^2>0 4-b^2>0
所以 -(4-a^2)(4-b^2)<0
(a+b)^2-(4+ab)^2<0
(a+b)^2<(4+ab)^2
|a+b|<|4+ab|

Answer 2

令|x+1|=0，解之得x=－1
令|x-1|=0,解之得x=1
当x＜－1时，|x+1|+|x-1|=－﹙x＋1﹚＋1－x=－2x,当f﹙x﹚＜4时，即－2x＜4时，x＞－2,所以
－2＜x＜－1;
当－1≤x≤1时，|x+1|+|x-1|=﹙x＋1﹚＋1－x=2,当f﹙x﹚＜4时，－1≤x≤1;
当x＞1时，|x+1|+|x-1|=﹙x＋1﹚＋x－1=2x,当f﹙x﹚＜4时，即2x＜4时，x＜2,所以1＜x＜2;
综上所述M=﹛x｜－2＜x＜2﹜

Answer 3

(1) 令x+1=0, x-1=0, 得到x=-1, x=1。
若x<-1, 原式=-2x<4, x>-2. 得到-2<x<-1.
若-1<=x<1, 原式=2<4， 成立。
若x>=1，原式=2x<4, x<2.得到1<=x<2.
结论：M={x|-2<x<2}

(2)若a b 属于M。|a+1|+|a-1|<4，|b+1|+|b-1|<4. 分别两边平方得到a^2<7, b^2<7.
相加凑平方得到：（a+b)^2<14+2ab.
14+2ab<(4+ab)^2 (说明：(4+ab)^2-(14+2ab)=2+a^2b^2>0)，
得到（a+b)^2<(4+ab)^2, 从而|a+b|<|4+ab|

Answer 4

-2<m<2,因为f(x)≥0，所以f(x) 的平方也小于4的平方，即（|x+1|+|x-1|）的平方小于16，解得。
当ab同号时好算，当ab异号的时候就有点难办了