Question

求解一道高中立体几何图，题目如下图

Answer 1

(1)证明：∵AB为圆O直径，弧AC=1/3弧AB
∴∠AOC=60°，∠ABC=30°
∵AC=AE=1/2BD=2，AF=1/2AO
∴AC=AE=OA=OB=2，AB=BD=4，CF⊥AB，BC⊥AC，BC=2√3
∵DF=5==>DF^2=BF^2+BD^2
∴DB⊥AB
∵DB//AE，∴AE⊥AB
∵DC=2√7，∴DC^2=BC^2+BD^2
∴DB⊥底面ABC，AE⊥底面ABC==>面AEDB⊥底面ABC
CF⊥面AEDB==>CF⊥DE
CF∈面EFC
∴DE⊥面EFC
(2)解析：由(1)可知，∠DFE为面DCF与面ECF所成二面角的平面角
DE⊥EF
EF=√5
∴cos∠DFE=√5/5
∴面DCF与面ECF所成二面角的平面角的余弦值为√5/5

Answer 2

1.连OC
∵C是弧AB的三等分点
∴△AOC是正三角形
∴AO=AC=2
∴BF=3
又BD=4，DF=5
∴BD⊥BF
BC=2√3，CD=2√7
∴BD⊥BC
∴BD⊥平面ABC
∴BD⊥CF
又CF⊥AB
∴CF⊥面ABDE
∴CF⊥DE
EF=√5，DF=5，DE=2√5
∴DE⊥EF
∴DE⊥面CEF
2.∵面DCF∩面ECF=CF，CF⊥面ABDE，面DCF∩面ABDE=DF，面ECF∩面ABDE=EF
∴∠DFE为所求二面角的平面角或其补角
cos∠DFE=EF/DF=√5/5

Answer 3

（1）证明：∵C是圆弧AB上一点
∴△ABC为直角三角形
∵C为圆弧AB的三等分点
∴△ABC中，∠BAC=60°
由已知中AC=2得出：AB=4，BC=2√3
∵AE=AC=1／2DB=4且DC=2√7
∴根据勾股定理得出：∠DBC=90°即：DB⊥CB
∵F是AO的中点
∴FB=3
在△DBF中，DF=5，DB=4,FB=3
∴根据勾股定理, ∠DBF=90°
∵∠DBC=90°，∠DBF=90°
∴DB⊥面ABC
∴CF⊥DB
∵EA∥DB,且DB=2EA, ∠DBF=90°
∴DE=2√5
根据已知条件得出，EF=√5，DF=5
∴根据勾股定理得出∠DEF=90°
∵DE垂直于面EFC中两条相交线
∴DE⊥平面CEF
（2）∵CF⊥面ABDE
∴∠EFD为平面DCF与面ECF的二面角夹角
余弦值=EF/DF=√5/5=