Question

求数学高手来解题!!!!!!!!

已知函数f(x)=1/x+aln(x+1) (1)当a=2时,求f(x)的单调区间和极值 (2)若在上为单调函数,求实数的取值范围
(2)若f(x)在[2,4]上为单调函数,求实数a的取值范围

Answer 1

1、a=2 f'(x)=(2x+1)(x-1)/(x+1)x^2
有定义域x+1>0 x>-1且x不等于0
所以-1<x<-1/2 或者x>1 f'(x)>0；-1/2<x<0 0<x<1 f'(x)<0
递增区间(-1,-1/2] [1,无穷) 递减区间 [-1/2,0) (0,1]
极大值为f(-1/2)=-2-2ln2
极小值为f(1)=1+2ln2
2、f'(x)=(ax^2-x-1)/(x+1)x^2
f(x)在[2,4]上为单调函数
若为增函数
f‘(x)>=0 即ax^2-x-1>=0 即a>=1/x^2+1/x 即a>=max{1/x^2+1/x}
1/x^2+1/x=(1/x+1/2)^2-1/4
又2<=x<=4 1/4<=x<=1/2 所以(1/x+1/2)^2-1/4<=3/4 所以a>=3/4
若为减函数
f‘(x)<=0 即ax^2-x-1<=0 即a<=1/x^2+1/x 即a<=min{1/x^2+1/x}
又2<=x<=4 1/4<=x<=1/2 所以(1/x+1/2)^2-1/4>= 所以a<=5/16
所以a的取值范围 a<=5/16或者 a>=3/4

Answer 2

解：（1）a=2时，f(x)=1/x+2ln(x+1) x>-1，且x≠0
f'(x)= -1/x^2+2/(x+1)=0 2x^2-x-1=0 (2x+1)(x-1)=0 x1=-1/2，x2=1
x∈(-1,-1/2)时，f'(x)>0，f(x)单调增
x∈(-1/2,0)∪(0,1)时，f'(x)<0，f(x)单调减
x∈(1,+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调增
所以极大值为x1=-1/2时，f(x)=-2-2ln2
极小值为x2=1时，f(x)=1+2ln2
（2）f'(x)= -1/x^2+a/(x+1)=(ax^2-x-1)/[(x+1)x^2]
∵x∈(2,4)∴x+1>0∴只需讨论h(x)=ax^2-x-1=0，Δ=1+4a，对称轴=1/2a
∴①a>0时 Δ=1+4a>0
1) h(2)>0 h(4)≥0 1/2a>4 -> a>3/4 a≥5/16 a<1/8 -> 无交集舍去
2) h(2)≥0 h(4)>0 1/2a<2 -> a≥3/4 a>5/16 a>1/4 -> a≥3/4
3) h(2)≤0 h(4)≤0 -> a≤3/4 a≤5/16 -> 0<a≤5/16
∴a≥3/4或 0<a≤5/16
②a<0时
1) Δ≤0即a≤-1/4时 -> h(x)恒小于等于0，所以f(x)为单调减函数
2) Δ>0即-1/4<a<0时
1)) h(2)<0 h(4)≤0 1/2a>4 -> a<3/4 a≤5/16 a<1/8 -> a<0
2)) h(2)≤0 h(4)<0 1/2a<2 -> a≤3/4 a<5/16 a>1/4 -> ∵a<0∴舍去
3)) h(2)≥0 h(4)≥0 -> a≥3/4 a≥5/16 -> ∵a<0∴舍去
∴a<0均成立
③a=0时 h(x)=-x-1，在x∈[2,4]内，h(x)均<0
∴a=0成立
∴综上所述a的取值范围是a≥3/4或a≤5/16

Answer 3

第一问 求导数 大于零时单增 小于零时单减 极值点等于零
第二问 计算求导后让其恒不等于零 求值
第三问 还是导数 解决此类问题 秘诀就是导数 必要时 画图像