Question

高三文科数学三角函数题~！求助！！~急急急！！！

三角形ABC 已知3aCOSA=cCOSB+bCOSC (这条可以推出COSA=1/3) ，a=1,COSB+COSC=2√3/3
求c !!!!!!

Answer 1

由余弦定理可知2accosB=a^2+c^2-b^2；2abcosc=a^2+b^2-c^2；
代入3acosA=ccosB+bcosC；
得cosA=1/3 ；
∴sinA= 2√3/3
cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC=-1/3 cosC+ 2√3/3 sinC ③
又已知 cosB+cosC= 2√3/3 代入 ③
cosC+√2 sinC=√3 ，与cos^2C+sin^2C=1联立
解得 sinC= √6/3
已知 a=1
正弦定理：c= √3/2

Answer 2

∵3acosA＝ccosB＋bcosC，
∴结合正弦定理，容易得出：3sinAcosA＝sinCcosB＋sinBcosC＝sin（B＋C）＝sinA.
在△ABC中，显然有：sinA＞0，∴3cosA＝1，∴cosA＝1/3，∴1－2［sin（A/2）］^2＝1/3，
∴2［sin（A/2）］^2＝1－1/3＝2/3，∴［sin（A/2）］^2＝1/3。
在△ABC中，显然有：sin（A/2）＞0，∴sin（A/2）＝√3/3。

∵cosB＋cosC＝2√3/3，∴cosB＋cosC＝2sin（A/2），
∴2cos［（B＋C）/2］cos［（B－C）/2］＝2sin（A/2），
∴cos［（B－C）/2］＝1。

在△ABC中，显然有：0°＜B＜180°、0°＜C＜180°，∴－180°＜B－C＜180°，
∴－90°＜（B－C）/2＜90°，∴由cos［（B－C）/2］＝1，得：B＝C，∴A＝180°－2C，
∴cosA＝cos（180°－2C）＝－cos2C＝－1＋2（sinC）^2＝1/3，∴2（sinC）^2＝4/3，
∴（sinC）^2＝2/3。
在△ABC中，显然有：sinC＞0，∴sinC＝√2/√3。
由cosA＝1/3，得：sinA＝√［1－（cosA）^2］＝√（1－1/9）＝2√2/3。
由正弦定理，有：c/sinC＝a/sinA，∴c/（√2/√3）＝1/（2√2/3），∴c＝√3/2。