Question

计算二重积分∫∫y/xdxdy,D为y=2x,y=x,x=2,x=4所围成的区域

Answer 1

所谓区域是2<=x<=4 x<=y<=2x
分别积分
原式=∫（4,2）1/xdx∫（2x,x)ydy
=∫（4,2）1/x *3x^2/2dx
=∫（4,2）3x/2dx
=9

追问

能不能直接求出y的区间 然后在积分

追答

y的区间就是[x,2x]
求y的时候把x视作已知的

追问

把4代入y=2x 2代入y=x得（2,8）这样算对不对

追答

不对，你可以画出图像，他取的是x在[2,4]，y在y=x和y=2x之间的区域，这块区域和[2,4]*[2,8]肯定不是一样的，最好画个图辅助理解一下
你要把这里的x当做已知的数一样，y的范围是[x,2x]

Answer 2

∫∫y/xdxdy
=∫(2,4)dx∫(x,2x) y/x dy
=∫(2,4) [y²/(2x)] | y=(x,2x) dx
=∫(2,4) [(2x)²-x²]/(2x) dx
=∫(2,4) 3x/2 dx
=(3x²/4)|x=(2,4)
=9

追问

能不能直接求出y的区间 然后在积分

Answer 3

换元
令u=y/x,v=x
则
x=v,y=uv
ə(x,y)/ə(u,v)
= 0 1
v u
则
||ə(x,y)/ə(u,v)||=v
则
∫∫y/xdxdy
=∫(2→4)∫(1→2)uvdudv
=∫(1→2)vdv∫(2→4)udu
=0.5v²(1→2)0.5u²(2→4)
=1.5×6
=9

Answer 4

∫(2x,4x)(y/x)dy=(1/2)(x,2x)y^2/x=3x、2。
∫∫y/xdxdy=(3/2)∫(2,4)xdx=(2,4)(3/4)x^2=12-3=9。

追问

能不能直接求出y的区间 然后在积分

追答

不可以，变量y的区间是[x,2x]