Question

已知函数f（x）=x（x-a）^2，a是大于零的常数。

. 已知函数f（x）=x（x-a）^2，a是大于零的常数。 ①当a=1，求f（x）的极值 ②若函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围。

Answer 1

①解：导函数f '(x) = (x³ - 2ax² + a²x) ‘
= 3x² - 4ax + a²
令 f '(x) = 3x² - 4ax + a² = 0 解得，x = a/3 或 x = a
当a=1时， 则 x = 1/3 或 x = 1时， f '(x) = 0，此时原函数f(x) = x(x-1)² 取极值。
即，原函数f(x)的极值为 f(1/3) = 4/27，和f(1) = 0
经检验，x ＜ 1/3时， f(x)＜ f(1/3) = 4/27
1/3 ＜ x ＜1时 ， f(1) = 0 ＜f(x) ＜ f(1/3) = 4/27
x ＞1时， f(x) ＞ f(1) = 0
∴ f(1/3) = 4/27为极大值，f(1) = 0为极小值。

②解：由第①题得，f(a/3)为极大值，f(a)为极小值。
画图可知，原函数f(x)的单调递增区间为 (-∞，a/3]∪[a，+∞)
而由题意，f（x）在区间[1，2]上单调递增，
则a需满足：
a/3 ≥ 2 或 a ≤ 1
解得， a ≥ 6 或 a ≤ 1
∴当a ≥ 6 或 a ≤ 1时，f（x）在区间[1，2]上单调递增