Question

如图，经过x轴上A（-1，0）、B（3，0）两点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交y轴的正半轴于点C，设抛物线的顶点

为D．
（1）用含a的代数式表示出点C、D的坐标；
（2）若∠BCD=90°，请确定抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，能否在抛物线上找到另外的点Q，使△BDQ为直角三角形？如果能，请直接写出点Q的坐标；如不能，说明理由

Answer 1

解：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，得：
{a-b+c=09a+3b+c=0，
则{b=-2ac=-3a；
∴y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a；
故D（1，-4a），C（0，-3a）．

（2）由于B（3，0），C（0，-3a），D（1，-4a），则：
BD2=16a2+4，BC2=9a2+9，CD2=a2+1；
若∠BCD=90°，则：BD2=BC2+CD2，即：
16a2+4=9a2+9+a2+1，
解得a=-1（正值舍去），
故抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．

（3）易知C（0，3），D（1，4）；
而B（3，0），
则直线BD：y=-2x+6；
①∠BDQ=90°，可设直线DQ：y=12x+m，则有：
12+m=4，m=72；
即y=12x+72；
联立抛物线的解析式有：
{y=12x+72y=-x2+2x+3，
解得{x=12y=154，{x=1y=4；
∴点Q（12，154）；
②∠DBQ=90°，同理可设直线BQ：y=12x+n，
则：32+n=0，n=-32，
即y=12x-32；
联立抛物线的解析式有：
{y=12x-32y=-x2+2x+3，
解得{x=-32y=-94，{x=1y=4；
∴点Q（-32，-94）；
综上可知，存在符合条的Q点，且坐标为：Q1(-32，-94)，Q2(12，154)．

Answer 2

a-b+c=0，9a+3b+c=0
b=-2a，c=-3a
C点（0，-3a），D点（1，-4a）
后面有点复杂，有空再做