Question

已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(1,0),且经过点(0,1)

(1)求该抛物线对应的函数解析式
（2）将该抛物线向下平移m(m＞0)个单位，设得到的抛物线定点为A，与x轴的两个交点为B,C，若△ABC为等边三角形
①求m的值
②设点A关于x轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，是四边形CBDP为菱形？若存在，写出P点的坐标；若不存在，说明理由。
（本题无图！）

Answer 1

解：（1）函数y=ax²+bx+c的顶点为（1,0），
∴-b/(2a)=1, ①
(4ac-b²)/(4a)=0 ②
∵经过点(0,1)
将其代入y=ax²+bx+c得 c=1 ③
由①②③联立解得 a=1,b=-2,c=1
∴该抛物线对应的函数解析式为y=x²-2x+1
(2)①该抛物线向下平移m(m＞0)个单位
这时的顶点坐标为A（1,-m)
抛物线轨迹方程y=x²-2x+1-m的解为x=1-√m或1+√m
所以这时抛物线与x轴的两交点坐标为B（1-√m，0)和C(1+√m，0）
∴ AB=(-√m,m) AC=(√m,m) ∴ |AB|=|AC|=√(m+m²) ，AB*AC=-m+m²
∴△ABC是一个等腰三角形
若△ABC为等边三角形
需令AB与AC的夹角θ=60°,所以cosθ=cos60°=1/2
AB*AC=|AB| |AC|cosθ
代入得-m+m²=√(m+m²) √(m+m²) *(1/2) 解得m=0或m=3(m=0与m>0矛盾，舍去）
∴m=3
②存在,线段AD与BC互相垂直平分,
∴四边形ACBD为菱形,A是抛物线上的点
∴所求点P就是A 点，
由①得A(1，-3)，即P(1,-3)

Answer 2

解：（1）函数y=ax²+bx+c的顶点为（1,0），
∴-b/(2a)=1, ①
(4ac-b²)/(4a)=0 ②
∵经过点(0,1)
将其代入y=ax²+bx+c得 c=1 ③
由①②③联立解得 a=1,b=-2,c=1
∴该抛物线对应的函数解析式为y=x²-2x+1
(2)①该抛物线向下平移m(m＞0)个单位
这时的顶点坐标为A（1,-m)
抛物线轨迹方程y=x²-2x+1-m的解为x=1-√m或1+√m
所以这时抛物线与x轴的两交点坐标为B（1-√m，0)和C(1+√m，0）
∴ AB=(-√m,m) AC=(√m,m) ∴ |AB|=|AC|=√(m+m²) ，AB*AC=-m+m²
∴△ABC是一个等腰三角形
若△ABC为等边三角形
需令AB与AC的夹角θ=60°,所以cosθ=cos60°=1/2
AB*AC=|AB| |AC|cosθ
代入得-m+m²=√(m+m²) √(m+m²) *(1/2) 解得m=0或m=3(m=0与m>0矛盾，舍去）
∴m=3
②存在,线段AD与BC互相垂直平分,
∴四边形ACBD为菱形,A是抛物线上的点
∴所求点P就是A 点，
由①得A(1，-3)，即P(1,-3)

Answer 3

最后一问应为不存在
因为题目已限定四边形CBDP为菱形，带有字母顺序
而这样满足的P点只有一个（2倍根号3+1，3）该点不在抛物线上
因此不存在