Question

1.已知函数f（x）=1+x-x²/2+x³/3-……+x^2013/2013,

g(x)=1-x+x²/2-x³/3+……-x^2013/2013，设F(x)=[f(x)+3]*[g(x)-3],且方程F（x）=0的实数跟均在【a,b】（a＜b，a,b∈Z）内，则b-a的最小值为？

Answer 1

g(x)=1-x+x²/2-x³/3+……-x^2013/2013
f(x)+3=0或g(x)-3=0
h(x)=f(x)+3=4+x-x²/2+x³/3-……+x^2013/2013
h'(x)=1-x+x^2-...........+x^2012
x=-1时，h'(1)=2013>0
-x≠1时，h'(x)=1-x+x^2-...........+x^2012=(-x)^2013-1]/[(-x)-1]=(x^2013+1)/(x+1)
x>-1,h'(x)=(x^2013+1)/(x+1)>0
x<-1,h'(x)=(x^2013+1)/(x+1)>0
∴h'(x)>0恒成立，h(x)为增函数
h(0)=4
h(-1)=3+1-1-1/2-1/3-1/4-....-1/2013
=3-(1/2+1/3+1/4+.....+1/2013)
∵1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+.....+1/2013
>1+9/20+15/56+19/45+1/20+...... +1/20+1/30+.........+1/30 +1/40+.........+1/40+.....+1/2013
>3
∴h(-1)<0
∴f(x)+3=0只有1个实数解属于（-1,0）
i(x)=g(x)-3
∴同理 i'(x)=-1+x-x^2+........-x^2012 <0
i(x)为减函数
i(0)=-2<0
i(-1)=-3+(1+1+1/2+1/3+...........+1/2013)>0
∴g(x)-3=0只有1个解属于（-1,0）
∴F（x）=0的实数跟均在区间(-1,0)内
∴b-a最小值为1