Question

已知数列｛an｝中，a2=1，Sn是其前n项和，且Sn=n(an-a1)/2

1.求证：｛an｝为等差，求通项。
2.记bn=S(n+2)/S(n+1)+S(n+1)/S(n+2),Tn为数列｛bn｝的前n项和，是否存在实数p,q，使｛Tn-pn｝＜p对任意正整数n都成立？若存在求p,q的值。

Answer 1

1.证明：由Sn=n(an-a1)/2令n=1，则S1=1*(a1-a1)/2=0=a1，所以a1=0，所以Sn=n(an-a1)/2=nan/2
则S(n-1)=(n-1)a(n-1)/2，两式相减得：Sn-S(n-1)=nan/2-(n-1)a(n-1)/2，而Sn-S(n-1)=an，
所以nan/2-(n-1)a(n-1)/2=an，即(n-2)*an=(n-1)*a(n-1)，当n>2时有：an=(n-1)/(n-2)*a(n-1)，
累乘得：an=[(n-1)/(n-2)]*[(n-2)/(n-3)]*…*(3/2)*(2/1)*a2=(n-1)/1*a2=n-1
当n=1时，a1=1-1=0，当n=2时，a2=2-1=1，都符合此式，所以an=n-1 (n为正整数)
则a(n-1)=n-1-1=n-2，所以 an-a(n-1)=(n-1)-(n-2)=1，为常数，所以｛an｝是以0为首项、1为公差的等差数列，其通项公式为an=n-1 (n为正整数)
2，解：Sn=nan/2=n(n-1)/2，则S(n+1)=n(n+1)/2，S(n+2)=(n+1)(n+2)/2
所以bn=S(n+2)/S(n+1)+S(n+1)/S(n+2)=(n+2)/n+n/(n+2)=2+2[1/n-1/(n+2)]>2
所以Tn>2n，即Tn-2n>0恒成立，所以存在，p≤2，q≤0

Answer 2

∵Sn=n(an-a1)/2
∴当n=1时，a1=S1=0
∴Sn=nan/2
S(n+1)=(n+1)a(n+1)/2
n≥2时
∴a(n+1)=S(n+1）-Sn
=(n+1)a(n+1)/2-nan/2
∴ (n-1)a(n+1)=nan
a(n+1)/an=n/(n-1)
n≥3时，
a3/a2=2/1
a4/a3=3/2
a5/a4=4/3
..................
an/a(n-1)=(n-1)/(n-2)
∴an/a2=2×3/2×4/3×.....×(n-1)/(n-2)=n-1
∴an=n-1
对n=1,2均成立
∴an=n-1
a(n+1)-an=1
{an}是等差数列
2
Sn=n(n-1)/2
bn=S(n+2)/S(n+1)+S(n+1)/S(n+2),
=(n+2)(n+1)/[(n+1)n]+(n+1)n/[(n+1)(n+2)]
= (n+2)/n+n/(n+2)
=1+2/n+1-2/(n+2)
=2+2/n-2/(n+2)
Tn=2n+[(2-2/3)+(1-2/4)+(2/3-2/5)+(2/4-2/6)+....+(2/(n-1)-2/(n+1))+(2/n-2/(n+2))
=2n+3-[2/(n+1)+2/(n+2)]
∵2/(n+1)+2/(n+2)>0 ∴ Tn<2n+3 对任意的n∈N*恒成立
∵ Tn-pn<q 等价于 Tn<pn+q
∴符合条件的实数p≥2,q≥3