Question

正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,AE,BF交于点P 求证:AD=PD

Answer 1

证明：

取AB的中点G，连接DG，交AE于H

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90º

∵E,F分别是BC,CD的中点

∴BE=CF

∴⊿ABE≌⊿BCF（SAS）

∴∠BAE=∠CBF

∵∠BAE+∠BEA=90º

∴∠APB=∠CBF+∠BEP=90º

∵BG=DF，BG//DF

∴四边形BFDG是平行四边形

∴BF//GD

∴∠AHG=∠APB=90º

∵AG=BG

∴AH=PH【平行线等分线段定理】

∴DG垂直平分AP

∴AD=PD【垂直平分线上的点到线段两端的距离相等】

Answer 2

令H为AB的中点，连接DH交AE于G。
△ABE与△BCF中，AB = BC，BE = CF，角ABC = 角BCD = 90°。因此△ABE≌△BCF。因此∠BAE = ∠CBF。又∠CBF+∠ABF = 90°，所以∠BAE+∠ABF = 90°。所以∠APB = 90°。由此得出BF⊥AE。
同理可得DH⊥AE，所以DH∥BF。
因H平分AB，所以AH = HB，所以AG = GP。
在△ADG与△PDG中，DG共边，∠DGA = ∠DGP = 90°，AG = GP，所以△ADG与△PDG对称，因此AD = PD。

Answer 3

设O是ABCD中心，AE绕O逆时针旋转90º，到达BF.AE绕O顺时针旋转90º，到达DM.M∈AB

则AM＝MB  ﹙∵BE＝EC﹚  MD⊥AE  BF⊥AE  ∴DM∥BF  

∴AN.＝NP,N＝AE∩DM  [∵AM＝MB  及 平行线定理 ]

MD是AP的中垂线，AD＝PD.[ 中垂线定理 ]

Answer 4

延长BF交AD延长线于G，则△BCF全等于△GDF,所以GD=BC=AD,
△ABE全等于△BCF，则∠AEB=∠BFC,又∠BCF+∠CBF=90°，
所以∠AEB+∠CBF=90°，所以∠APF=90°，由于GD=AD
所以PD=AG/2=AD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
即AD=PD

Answer 5

沿长BF交AD的延长线于M点
能证明下面两个条件就可以了:
1、AE垂直于BF，三角形APM是直角三角形。(证明不难)
2、D是AM的中点，
(DF=AB/2,易证)
根据直角三角形斜边中线的定理知:PD=DM=AD