Question

数学题：设函数f（x）=2x^3+3ax^2+3bx+8c的单调递增区间是（-∞，1），（2，+∞），单调递减区间是（1,2）

若对于任意的x∈【0,3】，都有f（x）＜c^2成立，求c的取值范围。

Answer 1

f(x)=2x³+3ax²+3bx+8c
所以f '(x)=6x²+6ax+3b
因为单增区间为(-∞，1)，(2，+∞) 单减区间为(1，2)
所以 x=1，x=2为极值点
所以 1,2为f ’(x)=0的根
代入方程可以解出 a= -3 b=4
所以 f(x)=2x³-9x²+12x+8c
因为对于任意的x∈[0,3] 都有f(x)＜c^2
所以 f(x)-c²＜0 在x∈[0,3] 上成立
设 g(x)=f(x)-c² ,所以g(x)在[0,3]的最大值＜0
又 g ‘(x)=f ’(x)
所以 g(x)与f(x)单调性相同
所以 g(x)在[0,1)，(2,3]上单增，在(1,2)上单减
所以 g(x)在[0,3]上的最大值为max{g(1),g(3)}
所以 g(1)＜0，g(3)＜0
解得 c∈(-∞，-1)∪(9，+∞)

Answer 2

另f(x)的导数为g(x),则g(x)=6x²+6ax+3b 另g(x)=0 则有 2x²+2ax+b=0 由f(x)的增减区间知1和2是二次方程的两个根，把1和2代入，求得 a=-3 b=4

所以 f(x)=2x^3-9x²+12x+8c

若对于任意的x∈[0,3]，都有f（x）＜c^2成立 c²是个常数，我们只需找出此范围上f(x)所得最大值即可，由f(x)的三个单调区间知f(x)在f(2)取得极小值，f(1)=5+8c f(3)=9+8c 所以f(3)＞f(1)

即f(3)取得最大值，只需9+8c＜c²成立，那么f(x)在[1,3]上都成立
9+8c＜c² 得(c+1)(c-9)＞0 解得c＞9或c＜-1

Answer 3

由f(x)的单调区间知道，1,2是f(x)导数的两个根，有个条件有求出a=-3，b=4.
将a，b代入f(x)=2x^3-9x^2+12x+8c，又因为对于任意的x∈【0,3】，都有f（x）＜c^2成立，
将c的多放在一边化简有2x^3-9x^2+12x<c^2-8c在[0,3]恒陈立则c^2-8c大于2x^3-9x^2+12x在【0,3】上的最大值。由条件给出的单调区间知道2x^3-9x^2+12x在1处取得极大值得5，在0,3处的值分别为0,9，所以2x^3-9x^2+12x在【0,3】最大值为9
即9<c^2-8c在【0,3】恒成立解得c∈(-∞，-1),(9,+∞)

Answer 4

解：
f(x)=2x^3+3ax^2+3bx+8c
f'(x)=6x^2+6ax+3b
由单调区间，可知：f'(1)=0、f'(2)=0
即：
6+6a+3b=0…………………(1)
24+12a+3b=0………………(2)
(2)-(1)，有：18+6a=0
解得：a=-3
代入(1)，有：6+6×(-3)+3b=0
解得：b=4
将a、b代入原函数，有：f(x)=2x^3-9x^2+12x+8c
f(x)＜c^2
f(x)-c^2＜0
由f(x)的单调区间，可知x=1是f(x)的极大值点，x=2是f(x)的极小值点
c为常数，所以f(x)-c^2的单调区间以及极值点与f(x)相同。
f(1)-c^2=5+8c-c^2
f(3)-c^2=9+8c-c^2
显然f(3)-c^2＞f(1)-c^2
由：f(x)-c^2＜0，得：f(3)-c^2＜0
即：9+8c-c^2＜0
c^2-8c-9＞0
(c-9)(c+1)＞0
解得：c∈(9，∞)，或：c∈(-∞，-1)

Answer 5

f ’（x）=6x^2+6ax+3b f ’（1）=6+6a+3b=0 f ‘（2）=24+12a+3b=0
所以a=-3 b=4 所以f（x）=2x^3-9x^2+12x+8c
f（x）=2x^3-9x^2+12x+8c＜c^2 对于任意的x∈【0,3】恒成立
令h（x）=2x^3-9x^2+12x 即h（x）=2x^3-9x^2+12x ＜c^2 -8c 对于任意的x∈【0,3】恒成立
h ’（x）=6x^2-18x+12 当h ‘（x）=0时 x=1或x=2 h（x）在（-∞，1），（2，+∞）上为增函数 在（1,2）上为减函数
h（0）=0 h（3）=9 所以 c^2 -8c＞9 所以c∈（-∞，-1）并（9,+∞）