Question

麻烦各位帮助解哈这个题。

Answer 1

极坐标方程ρ=1/[2+(√3)sinθ+cosθ]所确定的图形。
解：2ρ+(√3)ρsinθ+ρcosθ=1；化为直角坐标方程得 2√(x²+y²)+(√3)y+x=1；
移项，平方去根号得4(x²+y²)=1+x²+3y²-2x-(√3)y+2(√3)xy
化简得3x²-2(√3)xy+y²+2x+(√3)y-1=0..............(1)
A=3，B=-2√3，C=1，判别式Δ=B²-2AC=12-12=0，故其图像是抛物线或两条平行直线。
下面再作进一步的判断：为此将xoy坐标轴旋转一个角度α,得到一个新的坐标系x′oy′，以消去方程中的xy项；旋转角度α=(1/2)arctan[B/(A-C)]=(1/2)arctan(-√3)=-π/6
故sinα=-1/2，cosα=(√3)/2；
那么有坐标转换公式：
x=x′cosα-y′sinα=[(√3)/2]x′+(1/2)y′..............(2)
y=x′sinα+y′cosα=-(1/2)x′+[(√3)/2]y′............(3)
将(2)(3)代入(1)式得:
3[(√3/2)x′+(1/2)y′]²-2(√3)[(√3/2)x′+(1/2)y′][(-1/2)x′+(√3/2)y′]+[(-1/2)x′+(√3/2)y′]²+2[(√3/2)x′+(1/2)y′]+(√3)[(-1/2)x′+(√3/2)y′]-1=0
展开，合并同类项，得(9/2)x′²+(√3/2)x′+(5/2)y′-1=0
即有9x′²+(√3)x′+5y′-2=0
配方得9(x′+√3/18)²+5y′-25/12=0
于是得(x′+√3/18)²=-(5/9)(y′-5/12）
再平移坐标轴化为抛物线标准方程，为此令x′+√3/18=x′′，y′-5/12=y′′，便得抛物线标准方程：
(x′′)²=-(5/9)y′′；结论：原极坐标方程所确定的图形是一条抛物线。
作图：先将坐标轴顺时针方向旋转30°,得到x′oy′坐标系；再将x′oy′的坐标平移至新原点(-√3/18，5/12)建立x′′o′′y′′坐标系，最后在此坐标系里作抛物线(x′′)²=-(5/9)y′′.