Question

若an+a（n+1）=n+2,且a1=1，求{an}的通项公式

那个a（n+1）里的n+1是下标，还有要用两种方法做，一个等差一个等比

Answer 1

方法1：设其可化为
a[n+1]-(n+1)/2+x=-(a[n]-n/2+x) (说明：[ ]表示下标，下同)
整理得到：a[n+1]+a[n]=n+1/2-2x
对比系数得到：1/2-2x=2, 故x=-3/4
从而{a[n]-n/2-3/4}是以a[1]-1/2-3/4为首项，-1为公比的等比数列
所以a[n]-n/2-3/4=-(-1)^(n-1)/4
a[n]=(2n+3+(-1)^n)/4

方法2：
将通项两边同时乘以(-1)^(n+1)得到：
a[n+1]*(-1)^(n+1)-a[n]*(-1)^n=(n+2)*(-1)^(n+1)
到了这一步也可以仿照上面将其凑成一个等差数列的形式，不过比较费劲，会做很多无用功。最简单的是将n个式子写出来，进行累加
(-1)^n*a[n]-(-1)^(n-1)*a[n-1]=(n+1)*(-1)^n
....
a[2]-(-1)*a[1]=3*(-1)
将上面n式相加得到：(-1)^n*a[n]+a[1]=(-3+4-5+...+(n+1)*(-1)^n)=(5+(3+2n)*(-1)^n)/4
所以：a[n]=((3+2n)+(-1)^n)/4

Answer 2

1 2 2 3 3 4 4 ..