Question

一道数学中考题~~急急

关于x的一元两次方程4x²-2（m+1）x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦值，那么m的值是？

Answer 1

4x²-2（m+1）x+m=0 有两个根，
说明△=b²-4ac=4(m+1）²-4x4xm=4(m-1)²>0 即m可以取任意值。
x=(b± 根号△)/(-2a)=＜ (m+1)±lm-1l ＞/4
因为两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦值，所以
当m-1>0，也就是m>1时，x1=1/2 x2=m/2
当m-1<0，也就是m<1时，x1=m/2 x2=1/2
当m-1=0时，x1=x2=1/2 (因为是直角三角形，两个锐角如果相等的话，应该都是45°，余弦值为1/根号2。） 所以这个不成立。
那么x1=1/2 x2=m/2。 当一个角余弦值为1/2时，这个角为60°，那么另一个角就是30°，即余弦值为（根号3）/2 所以咯，m=根号3
终于搞定了。。。
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Answer 2

4x²-2（m+1）x+m=0 有两个根，
说明△=b²-4ac=4(m+1）²-4x4xm=4(m-1)²>0 即m可以取任意值。
x=(b± 根号△)/(-2a)=＜ (m+1)±lm-1l ＞/4
因为两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦值，所以
当m-1>0，也就是m>1时，x1=1/2 x2=m/2
当m-1<0，也就是m<1时，x1=m/2 x2=1/2
当m-1=0时，x1=x2=1/2 (因为是直角三角形，两个锐角如果相等的话，应该都是45°，余弦值为1/根号2。） 所以这个不成立。
那么x1=1/2 x2=m/2。 当一个角余弦值为1/2时，这个角为60°，那么另一个角就是30°，即余弦值为（根号3）/2 所以咯，m=根号3
终于搞定了。。。 真打击，晚了这么多人！

Answer 3

设方程的两根为 a b
a b为一个直角三角形两个锐角的余弦 那么有 a²+b²=1
根据 韦达定理 a+b=（m+1）/2
ab=m/4
那么 a²+b²=（a+b）²-2ab=(m+1)²/4-2*m/4=1
得 m²=3
而ab=m/4>0 所以 m=√3

Answer 4

设两根分别为a,b.
则根据勾股定理，得到a^2+b^2=1
又，根据韦达定理，有a+b=(m+1)/2, ab=m/4
a^2+b^2=（a+b）^2-2ab=(m^2+1)/4=1
解，得m=±平方根3
又，由于锐角的余弦值必为正数，所以m≠ -根3
综上，m=根3

Answer 5

由题意可得X=1/2 或X=√3/2
当X=1/2 时 1-（m+1）+m=0 解得 m为实数R
当X=3^(1/2)/2时 3-√3（m+1）+m=0 解得 m=(3-√3)/(√3-1)
所以 m=(3-√3)/(√3-1)