Question

线性方程组的通解 齐次线性方程组的系数矩阵A（n阶方阵）的行列式值为0，Aij不等于零，证明：

通解可表示为k[Ai1,Ai2,……Ain]T k任取

Answer 1

证明: 因为 |A|=0
所以 AA*=|A|E=0
所以 A* 的列向量都是 AX=0 的解.

又因为 |A|=0 所以 r(A)<=n-1
而 Aij≠0, 所以 r(A*)>=1,
所以 r(A)>=n-1
所以 r(A)=n-1.
所以 AX=0 的基础解系含 n-r(A) = 1 个解向量.

所以, A*的非零列向量 (Ai1,Ai2,...,Ain)^T 是AX=0 的基础解系.
故 通解可表示为k(Ai1,Ai2,……Ain)^T k任取

追问

如果先证（Ai1,Ai2,...,Ain)^T是AX=O的解；
再证给出的那一组基线性无关；
再证解空间维数是给出的基础解系中的向量个数。
这样的话，有没有哪一步是可以不做的啊？？

追答

没有 缺一不可.

追问

如果只是要证明（Ai1,Ai2,...,Ain)^T是解空间的一组基是不是第一步就不用了？？

追答

1. 必须先是解才在解空间里
2. 必须含n-r(A)的线性无关的解向量 才是解空间的基.