Question

三角形ABC中,角C等于60 a+b=2倍根号3+2 c=2倍根号2 则角A为

a b c 分别为角A B C 所对边。 我记得有一个用R可以算出来的简便方法。求解 最后答案是45或者75度、

Answer 1

方法一：
根据余弦定理cosC=(a²+b²-c²)/2ab，有：
cos60°=[(a+b)²-2ab-c²]/2ab
1/2=[(2√3+2)²-2ab-(2√2)²]/2ab
解得：2ab=(16+16√3)/3
则(a-b)²=(a+b)²-4ab=(16-8√3)/3=(2√3-2)²/3
∴a-b=(√3/3)(2√3-2)=2-(2√3/3) 或 a-b=(2√3/3)-2
与a+b=2√3+2联立，相加得：2a=4+(4√3/3) 或 2a=8√3/3
∴a=2+(2√3/3) 或 a=4√3/3
根据正弦定理： a/sinA=c/sinC
sinA=a×sinC/c =[2+(2√3/3)]×(√3/2)/(2√2) =(√6+√2)/4 ，则∠A=75°
或sinA=a×sinC/c =(4√3/3)×(√3/2)/(2√2) =√2/2 ， 则 ∠A=45°

方法二：
∵a+b=2√3+2=2(√3+1) ， c=2√2
∴(√3-1)(a+b)=(√2)c
由正弦定理可得： (√3-1)(sinA+sinB)=(√2)sinC
化简后得：sinA+sinB=(3√2 + √6)/4
由和差化积得： 2×sin[(A+B)/2]×cos[(A-B)/2] = (3√2 + √6)/4 ....①
∵是在三角形ABC中，且∠C=60°
∴∠A+∠B=180°-∠C=120°
∴①式可化简为： cos[(A-B)/2]=(√6+√2)/4
则cos(A-B)=2cos²[(A-B)/2] - 1 = 2×[(√6+√2)/4]² - 1 =√3/2
∴∠A-∠B=±30°
∵∠A+∠B=120°
∴∠A=75° 或 ∠A=45°

Answer 2

据余弦定理cosC=(a²+b²-c²)/2ab，有：
cos60°=[(a+b)²-2ab-c²]/2ab
1/2=[(2√3+2)²-2ab-(2√2)²]/2ab
解得：2ab=(16+16√3)/3
则(a-b)²=(a+b)²-4ab=(16-8√3)/3=(2√3-2)²/3
∴a-b=(√3/3)(2√3-2)=2-(2√3/3) 或 a-b=(2√3/3)-2
与a+b=2√3+2联立，相加得：2a=4+(4√3/3) 或 2a=8√3/3
∴a=2+(2√3/3) 或 a=4√3/3
根据正弦定理： a/sinA=c/sinC
sinA=a×sinC/c =[2+(2√3/3)]×(√3/2)/(2√2) =(√6+√2)/4 ，则∠A=75°
或sinA=a×sinC/c =(4√3/3)×(√3/2)/(2√2) =√2/2 ， 则 ∠A=45°

Answer 3

哥哥 这个题你用三角函数公式 就换算出来了噻