Question

已知x（e的x次方）为f（x）的一个原函数，则 定积分从0到1 [x · f（x）的导数] dx =？

实在是没有word里面公式可用。

Answer 1

解：
因为xe^x为f（x）的一个原函数
所以f(x)=（xe^x）’=e^x+xe^x=(1+x)e^x
∫【0,1】xf '(x)dx
=∫【0,1】x（1+x）e^xdx
=∫【0,1】xe^xdx+∫【0,1】x²e^xdx
=xe^x【0,1】-∫【0,1】e^xdx+x²e^x【0,1】-2∫【0,1】xe^xdx
=e-e^x【0,1】+e-2∫【0,1】xe^xdx
=e-e+1+e-2∫【0,1】xe^xdx
=1+e-2×1
e-1

追问

恩。不过能再求一下后面的那个定积分么？算了三四次都没一个对的。。。

追答

解：
因为xe^x为f（x）的一个原函数
所以f(x)=（xe^x）’=e^x+xe^x=(1+x)e^x
∫【0,1】xf '(x)dx
=∫【0,1】x（1+x）e^xdx
=∫【0,1】xe^xdx+∫【0,1】x²e^xdx
=xe^x【0,1】-∫【0,1】e^xdx+x²e^x【0,1】-2∫【0,1】xe^xdx
=e-e^x【0,1】+e-2∫【0,1】xe^xdx
=e-e+1+e-2∫【0,1】xe^xdx
=1+e-2×1
=e-1

Answer 2

x(e^x)'=e^x+xe^x=e^x(x+1)
f(x)=e^x(x+1)
x*f(x)=e^x(x^2+x)
[xf(x)]'=e^x(x^2+x)+e^x(2x+1)=e^x(x^2+3x+1)
∫e^x(x^2+3x+1)dx=∫x^2e^xdx+3∫xe^xdx+∫e^xdx
其中：
∫xe^xdx=∫xd(e^x)=xe^x-∫e^xdx=xe^x-e^x+C
∫x^2e^xdx=∫x^2d(e^x)=x^2e^x-∫e^xd(x^2)
=x^2e^x-2∫xe^xdx
=x^2e^x-2xe^x+e^x+C'=e^x(x^2-2x+1)+C'
原式=e^x(x^2-2x+1)+3(xe^x-e^x)+e^x+C
=e^x(x^2-2x+1+3x-3+1)+C
=e^x(x^2+x-1)+C = g(x)
g(0)=1(-1)=-1
g(1)=e(1+1-1)=e
定积分=e-(-1)=e+1
你自已再算一下。

追问

前辈,一个加号一个减号...哪个是对的?