Question

用格林公式计算下列对坐标的曲线积分

∮(x^2+y^2)dx+(y^2-x^2)dy,其中L是由y=0，x=1，y=x所围成区域的正向边界，
正确给分

Answer 1

函数P=(x+y)/(x^2+y^2), Q= (y-x)/(x^2+y^2)

在原点 O(0,0) 不连续，不能用格林公式。为此

作半径为 ε (0<ε<a) 的小圆dao C1: x^2+y^2 = ε^2, 取顺时针，则

原曲线积分 I = ∫<C+C1> - ∫<C1>, 前者用格林公式，得

I= ∫∫<D>(Q'<x>-P'<y>)dxdy + ∫<-C1>[(x+y)dx-(x-y)dy]/ε^2

= 0 + (1/ε^2)∫<-C1>(x+y)dx-(x-y)dy

= (1/ε^2)∫∫<D1>(-2)dxdy

= (1/ε^2)(-2πε^2) = -2π

扩展资料：

设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分区域都属于D，则D称为平面单连通区域。直观地说，单连通区域是没有空间的区域，否则称为复连通区域。

当xOy平面上的曲线起点与终点重合时，则称曲线为闭曲线。设平面的闭曲线L围成平面区域D，并规定当一个人沿闭曲线L环行时，区域D总是位于此人的左侧，称此人行走方向为曲线L关于区域D的正方向，反之为负方向。

参考资料来源：百度百科-格林公式

Answer 2

函数P=(x+y)/(x^2+y^2), Q= (y-x)/(x^2+y^2)，在原点 O(0,0) 不连续，不能用格林公式。为此作半径为 ε (0<ε<a) 的小圆dao C1: x^2+y^2 = ε^2, 取顺时针。

则原曲线积分 I = ∫<C+C1> - ∫<C1>, 前者用格林公式，得I= ∫∫<D>(Q'<x>-P'<y>)dxdy + ∫<-C1>[(x+y)dx-(x-y)dy]/ε^2= 0 + (1/ε^2)∫<-C1>(x+y)dx-(x-y)dy= (1/ε^2)(-2πε^2) = -2π。

格林公式是一个数学公式，它描述了平面上沿闭曲线L对坐标的曲线积分与曲线L所围成闭区域D上的二重积分之间的密切关系，用于二元函数的全微分求积。

证明含义：

在平面闭区域D上的二重积分，可通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达；或者说，封闭路径的曲线积分可以用二重积分来计算。

如区域D不满足以上条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合上述条件。

注意：对于复连通区域D，格林公式的右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界方向对区域D来说都是正向。

Answer 3

如下图，其中，S为三直线围城的区域

追问

把这题的网址给我

追答

我没网址。。我自己用MATHTYPE给你打的。。。

追问

我当初也是这么做的，可我总觉得不对，要不要三条边拆成L1、L2、L3来做？？

追答

这么做是正确的，可以拆成3个边来做，做法直接按照第二类曲线积分的做法来做。
答案也是一样的。