Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，M为BC的中点。⊙A的半径为3。

如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，M为BC的中点。⊙A的半径为3。动点O从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，设运动时间为t秒。
（1）当以OB为半径的⊙O与⊙A相切时，求t的值
（2）探究：在线段BC上是否存在点O，使得⊙O与直线AM相切，且与⊙A相外切。若存在，求出此时t的值及相应的⊙O的半径；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：(1)在中，∵AB=AC ， M为BC中点
∴AM⊥BC
在Rt⊿ABM中，AB=10,BM=8 ∴AM=6．
当⊙O与⊙A相内切
可得（t-3）^2=6^2+(t-8)^2 解得t=91\10
当⊙O与⊙A相外切
可得 （t+3）^2=6^2+(8-t)^2 解得t=91\22
∴当t=91\10或t=91\22时，⊙O与⊙A相切.
(2) 存在
当点O在BM上运动时
可得(8-t)^2+6^2=(8-t+3)^2 解得t=7\2
此时半径r=9\2
当点O在MC上运动时
可得(t-8）^2+6^2=(t-8+3)^2 解得t=25\2
此时半径r=9\2
当t=7\2或t=25\2时，，⊙O与直线AM相切并且与⊙A相外切.

Answer 2

1）由题目可知：⊙O的半径为t，⊙A的半径为3，如果⊙O与⊙A相切，则AO=t+3
又因为AB=AC=10，BC=16，M为BC的中点，所以BM=CM=8，AM=6，OM=绝对值8-t
在三角形AOM中，OM^2+AM^2=AO^2
所以(8-t)^2+36=(t+3)^2 及t=91/22
(2)假设存在在线段BC上是否存在点O，使得⊙O与直线AM相切，且与⊙A相外切。
因为⊙O与直线AM相切，所以⊙O的半径为OM 即⊙O的半径为绝对值8-t
又因为与⊙A相外切，所以当t<8时，AO=12-t 。当t>8时，AO=t-5
在直角三角形AOM中，AO^2=0M^2+AM^2
即 当t<8时， (12-t)^2=(8-t)^2+36 得出t=5.5<16
当t>8时，(t-5)^2=(t-8)^2+36 得出t=12.5<16
综上可知存在点O满足条件，此时⊙O的半径为2.5或4.5

Answer 3

：设⊙O的半径为t，⊙A的半径为3，如果⊙O与⊙A相切，则AO=t+3
又因为AB=AC=10，BC=16，M为BC的中点，所以BM=CM=8，AM=6，OM=绝对值8-t
在三角形AOM中，OM^2+AM^2=AO^2
所以(8-t)^2+36=(t+3)^2 及t=91/22
(2)假设存在在线段BC上是否存在点O，使得⊙O与直线AM相切，且与⊙A相外切。
因为⊙O与直线AM相切，所以⊙O的半径为OM 即⊙O的半径为绝对值8-t
又因为与⊙A相外切，所以当t<8时，AO=12-t 。当t>8时，AO=t-5
在直角三角形AOM中，AO^2=0M^2+AM^2
即 当t<8时， (12-t)^2=(8-t)^2+36 得出t=5.5<16
当t>8时，(t-5)^2=(t-8)^2+36 得出t=12.5<16
综上可知存在点O满足条件，此时⊙O的半径为2.5或4.5