对任意的非零x1，x2，有f（x1x2）=f(x1)+f(x2),且f'(1)=1, 证明：当x不等于0时，f'(x)=1/x
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取x2=1代入，得f(x1)=f(x1)+f(1)∴f(1)=0
取x1=x,x2=1/x,得f(1)=f(x)+f(1/x)=0
取x2=1/x2,得f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)
取x1=x+△x,x2=x代入上式后等式两边同除△x，得f((x+△x)/x)/△x=(f(x+△x)-f(x))/△x
当△x->0时有limf(1+△x/x)/△x=f'(x)
又limf(1+△x/x)/△x，（为0比0型，上下对△x求导）=[f'(1)*(1/x)]/1=1/x
得f'(x)=1/x,x≠0
取x1=x,x2=1/x,得f(1)=f(x)+f(1/x)=0
取x2=1/x2,得f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)
取x1=x+△x,x2=x代入上式后等式两边同除△x，得f((x+△x)/x)/△x=(f(x+△x)-f(x))/△x
当△x->0时有limf(1+△x/x)/△x=f'(x)
又limf(1+△x/x)/△x，（为0比0型，上下对△x求导）=[f'(1)*(1/x)]/1=1/x
得f'(x)=1/x,x≠0
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