Question

点P是△ABC内部任意一点,求证:当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时,PA+PB+PC的最小值

Answer 1

设P是△ABC内一点，连PA，PB，PC。以AB为边向外作正三角形ABA‘，则A’为一确定点。以PB为边作正三角形BPP'，由于P点是变动的，所以P'也是变动的。
但是，因为BP=BP'，BA=BA'，∠PBA=∠P'BA'=60°-∠ABP'，
所以ΔABP≌ΔA'BP'，
故PA=P'A'。
又因为PB=BP'=PP'，所以有PA+PB+PC=P'A'+PP'+PC。
因为A'是定点，P是可选择的动点，且P'随P而变。现在我们要讨论的PA+PB+PC即是A'，C之间的折线A'P'PC的长度何时取得最小值的问题了。
显然，当这四点在同一直线上时，长度为最小。此时，因为∠PBP’=∠BP’P=60°，
所以∠BPC=∠BP'A'=120°，即∠APB=120°，所以∠CPA=120°。这就是我们要求的结论。
具体的P点位置: 设△ABC的最大内角小于120°，分别以边BC，CA，AB为边向外作正△A'BC，正△AB'C，正△ABC'。则AA'，BB'，CC'交于一点P，P点就是的费马点。

追问

不要复制OK？我是因为看不懂才来问的，这些都看过了，谢谢

Answer 2

做不了 那得看三角形多大