已知函数f(x)=1/2 x^2-lnx (1)求f(x)单调区间（2）求证：x＞1时。1/2 x^2-lnx＜2/3 x^3
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(1)f'(x)=x-(1/x)=(x+1)(x-1)/x
当0<x<1时，f'(x)<0,故f(x)的递减区间为(0,1)
当x>1时,f'(x)>0，故f(x)的递增区间为(1,+∞)
(2)令g(x)=(1/2) x²+lnx-(2/3)x^3
g'(x)=x+(1/x)-2x²=(x²-2x^3+ 1)/x
当x>1时，g'(x)<0.故g(x)在(1,+∞）为减函数，而lim(x→1）g(x)=1/2 - 2/3 <0
故g(x)<lim(x→1)g(x)<0
∴当x＞1时，1/2 x^2+lnx＜2/3 x^3
当0<x<1时，f'(x)<0,故f(x)的递减区间为(0,1)
当x>1时,f'(x)>0，故f(x)的递增区间为(1,+∞)
(2)令g(x)=(1/2) x²+lnx-(2/3)x^3
g'(x)=x+(1/x)-2x²=(x²-2x^3+ 1)/x
当x>1时，g'(x)<0.故g(x)在(1,+∞）为减函数，而lim(x→1）g(x)=1/2 - 2/3 <0
故g(x)<lim(x→1)g(x)<0
∴当x＞1时，1/2 x^2+lnx＜2/3 x^3
参考资料： 希望下次不要这么粗心了，辛亏是lnx，x→1，都是0，改动不大...
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