Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为（1，0），以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心。设过

设过A,B两点抛物线的解析式为y=ax平方+bx+c,顶点为点N
1.求过A,C两点直线的解析式；
2.当点N在半圆M内时，求a的取值范围；
3.过点A作圆M的切线交BC于点F,E为切点，当以点A,F,B为顶点的三角形与以C,N,M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标。

Answer 1

解答：解：（1）因为在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为（1，0），所以B（4，0），C（4，2），设过A，C两点的直线解析式为y=kx+b，把A，C两点代入得 k+b=0 4k+b=2 ，解得 k=2/3 b=-2/3 ，故过点A、C的直线的解析式为y=2/3 x-2/3 ．
（2）由抛物线过A，B两点，可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-4），整理得，y=ax2-5ax+4a．∴顶点N的坐标为（5/2 ，-9a/4 ）．由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上，又
点N在半圆内，1/2 ＜-9a/4 ＜2，解这个不等式，得-8/9 ＜a＜-2/9 ．
（3）设EF=x，则CF=x，BF=2-x，AF=2+x，AB=3，在Rt△ABF中，由勾股定理AB2+BF2=AF2，得x=9/8 ，BF=7/8 ，①由△ABF∽△CMN得，AB/CM =BF/MN ，即MN=BF•CM/AB =7/16 ．当点N在CD的下方时，由-9a/4 =2-7/16 =25/16 ，求得N1（5/2 ，25/16 ）．当点N在CD的上方时，由-9a/4 =2+7/16 =39/16 ，求得N 2（5/2 ，39/16 ）．②由△ABF∽△NMC得，AB/NM =BF/MC 即MN=AB•CM/BF =36/7 ．当点N在CD的下方时，由-9a/4 =2-36/7 =-22/7 ，求得N3（5/2 ，-22/7 ）．当点N在CD的上方时，由-9a/4 =2+36/7 =50/7 ，求得N4（5/2 ，50/7 ）．

Answer 2

根据我的想象画了个图，不知可否。但愿对你有一点帮助。