Question

如图,在三角形ABC中,已知角ACB=90度,CD为AB边上的高,DE垂直AC于点E，三角形ADE的中线AG的延长线交BC于点F

(1)若CF=FG，求证：FG=1/3AF (2)在（2）的条件下，若AC=6倍根号2，求DE的长

Answer 1

1、作FH垂直DE交DE于H点，连接DF
依题意可知EG=DG，CF=BF=DF，
因为CF=FG，所以FG=DF，得H为DG的中点，
因为DE垂直AC，FH垂直DE，所以DF平行AE，得FG：AG=HG：EG=1：2
即得FG：AF=1：3，即FG=1/3AF
2、在直角三角形ACF中，AC==6倍根号2，CF=FG=1/3AF，用勾股定理解得CF=3，AF=9
EH=CF=3，因GH：EG=1：2，可得GH=1，EG=2，DE=2*EG=2*2=4

Answer 2

第一个问题：
延长CG交AB于H。
∵BC⊥AC、DE⊥AC，∴BC∥DE，∴EG/DG＝CF/BF，而EG＝DG，∴CF＝BF，又CF＝FG，
∴CF＝FG＝BF，∴点F是△BCG的外接圆圆心，∴BC是△BCG的外接圆直径，∴BG⊥CG。

由BD⊥CD、BG⊥CG，得：B、C、G、D共圆，∴∠DGH＝∠CBH。
∵BC∥DE，∴∠BCH＝∠CGE＝∠DGH＝∠CBH，∴BH＝CH。

∵AC⊥BC，∴∠ACH＋∠BCH＝∠CAH＋∠CBH，∴∠ACH＝∠CAH，∴AH＝CH。
由BH＝CH、AH＝CH，得：AH＝BH。

∵AH＝BH、CF＝BF，∴G是△ABC的重心，∴FG＝（1/3）AF。

第二个问题：你是不是将在（1）的条件下写成了在（2）的条件下？若是这样，则方法如下：
∵FG＝（1/3）AF，又CF＝FG，∴CF＝（1/3）AF。
由勾股定理，有：AF^2＝CF^2＋AC^2，∴AF^2＝（1/9）AF^2＋36×2，
∴（8/9）AF^2＝36×2，∴AF＝9，∴CF＝FG＝（1/3）AF＝3，∴AG＝6。

∵EG∥CF，∴△AEG∽△ACF，∴EG/CF＝AG/AF，∴EG＝CF×AG/AF＝3×6/9＝2，
∴DE＝2EG＝4。

注：若第二个问题不是我所猜测的那样，则请你补充说明。