Question

已知定点A(2,0),p点在圆x^2+y^2=1上运动,且AQ=2QP,其中O为坐标原点,则Q点的轨迹方程

Answer 1

Q(x,y),P(a,b)
a^2+b^2=1......(1)

kAP=b/(a-2)
AP:y=[b/(a-2)]*(x-2)......(2)
OQ平分∠AOP
∠AOP=2∠AOQ,kOP=b/a
tg∠AOQ=k
kOP=2k/(1-k^2)=b/a
bk^2+2ak-b=0
△=(2a)^2+4b^2=4(a^2+b^2)=4
k=(-a±1)/b
OQ:y=[(-a±1)/b ]*x......(3)
解联立方程组(2)、(3)
y=[b/(a-2)]*(x-2)
y=[(-a±1)/b ]*x
得
x=2b^2/(3-3a),2b^2/(1-a)
y=2b/3,-2b*(1+a)/(1-a)
即可得OP与AP的交点Q的坐标
Q1[2b^2/(3-3a),2b/3],Q2[2b^2/(1-a),-2b*(1+a)/(1-a)]
由Q1[2b^2/(3-3a),2b/3]
y=2b/3，得
b=3y/2=1.5y
x=2b^2/(3-3a)=4.5y^2/(3-3a)
a=(x-1.5y^2)/x
把a=(x-1.5y^2)/x，b=1.5y代入（1），得
a^2+b^2=1
[(x-1.5y^2)/x]^2+(1.5y)^2=1
y^2*（4x-3y^2-3）=0
4x-3y^2-3=0是抛物线；
y=0,即点P、Q均在X轴，∠AOP=0

同理
Q2[2b^2/(1-a),-2b*(1+a)/(1-a)]
请你自己计算