Question

如图20所示，在三角形ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，线段AC上一动点P（P与A、C不重合）

如图20所示，在三角形ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，线段AC上一动点P（P与A、C不重合），过点P作PQ//AB交BC于点Q。

（1）当三角形PQC的面积与四边形PABQ的面积的1/3时，求CP的长。

（2）当三角形PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长。

（3）在AB上是否存在点M，使得三角形PQM为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求PQ的长。

Answer 1

（1)S(PQC):S(PABQ)=1:3,则S(PQC):S(ABC)=1:(1+3)=1:4
因PQ平行AB，S(PQC):S(ABC)=CP^：AC^ （^表示平方)
则CP:AC=1:2，PC=AC/2=4/2=2

(2)设CP=x
AP=4-x,CQ=3x/4,BQ=3-3x/4
三角形PQC的周长与四边形PABQ的周长相等,则
PQ+x+3x/4=PQ+(4-x)+(3-3x/4)+5
得x=24/7

(3)设存在点M，PQ=x，取PQ中点G，连接GM，则GM垂直PQ且GM=DG=PG=PQ/2=x/2
CQ=3x/5,BQ=3-3x/5
过D作DE垂直PQ交AB于E
因PQ平行AB，MG垂直PQ，DE垂直PQ，MG=DG，则DGME为正方形
DE垂直BM，DE=GM=x/2
又DE=4/5*BQ=4/5(3-3x/5)
则4/5(3-3x/5)=x/2
解得x=120/49
所以存在点M使得三角形PQM为等腰直角三角形,PQ=120/49

Answer 2

（1）因为PQ//AB,所以三角形PQC与三角形ABC相似，所以各边比相同，即CQ/CP=CB/CA=3/4,
当三角形面积是四边形面积的三分之一时，其面积是ABC的四分之一，设：CP为X，则有
X*3/4X=1/4*3*4*1/2=3/2，
解得：X=2/3√6
（2）依然设CP为X，则有：X+3/4X+5/4X=3+4+5-X-3/4X
解得：X=48/17
（3）不存在。
假设PQM为等腰直角三角形，则PM=QM,因为PQC为直角三角形，所以PCQM为正方形，所以PC=CQ,由条件得：PC=4/3CQ,与假设矛盾，所以不存在。

Answer 3

1.三角形PQC的面积与四边形PABQ的面积的1/3时.三角形PQC的面积是三角形ABC的1/4.
CP=1/2AC=2
2.PQ是公共边。CQ+CP=(BC+AC+AB)/2=6
CP=6*4/7=24/7
3.不存在.若三角形PQM为等腰直角三角形，则四边形PMQC是正方形
PQ//AB CP/CA=CQ/CB 则CQ与CP不相等与四边形PMQC是正方形矛盾

追问

不对一定存在

追答

马虎了
1角PMQ为直角
设PQ=2X
（8X/5*6X/5）/2+（2X+5）X/2=6
解得X=60/49
PQ120/49
2角MQQ或MQP为直角
设PQ=X
（4X/5*3X/5）/2+（X+5）X/2=6
解得X=60/37