Question

用比较判别法的极限形式判别∑ln(1+1/n^2)的敛散性

Answer 1

极限形式：
an = ln(1+1/n^2)
bn = 1/n^2
lim an/bn = lim( ln(1+1/n^2)/(1/n^2) ) = 1
所以有比较判别法的极限形式知：
∑an 与 ∑bn 有相同的敛散性
而 ∑bn 是收敛的，所以 ∑an 也收敛。
注意，上面求极限用到 等价无穷小：ln(1+x) ~ x，当x->0。

Answer 2

因为在n趋向无穷大时，
0<ln(1+1/n^2)<1/n^2【用泰勒公式展开ln(1+x)可以得到这个结论】
而∑1/n^2是收敛的
所以∑ln(1+1/n^2)是收敛的