如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线 y=14x2交于M(x1,y1)和N(x2,y2)两点...... 10
如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线y=1/4x^2交于M(x1,y1)和N(x2,y2)两点(其中x1<0,x2>0).对于过点F的任意直线MN,是否存...
如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线 y=1/4x^2交于M(x1,y1)和N(x2,y2)两点(其中x1<0,x2>0).对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线 m,使m与以MN为直径的圆相切.如果有,请求出这条直线m的解析式;如果没有,请说明理由. 这是一道题的第四问,前三问百度上有,不影响做题。请不要从百度上复制粘贴来,凡是网上有的我都看过,都看不懂,所以请手打,多谢
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如果F是交点,那么这条直线应该是抛物线的准线,但此题的F不是焦点,所以作如下证明
证:如果MN平行X轴,那么MN=4,以MN为直径的圆的水平方向的切线:y=-1或y=3
如果MN转过一个角度,比如转到45度,那么此时的MN=8 中点(圆心)位于(2,3),切线仍为Y=-1
当K为任意值时:MN:y=kx+1 y=0.25x^2 x^2-4kx-4=0 MN^2=(x1-x2)^2+(Y1-Y2)^2
=(1+K^2)(X1-X2)^2=(1+k^2)(16k^2+16) MN=4(k^2+1) 以MN为直径的圆 R=2k^2+2
MN 中点 x中=(x1+x2)/2=4k/2=2k y中=kX中+1=2k^2+1
此时该圆的水平切线方程为:y=y中-R=-1
所以存在一条定直线 m,使m与以MN为直径的圆相切,切线方程为 y=-1
证:如果MN平行X轴,那么MN=4,以MN为直径的圆的水平方向的切线:y=-1或y=3
如果MN转过一个角度,比如转到45度,那么此时的MN=8 中点(圆心)位于(2,3),切线仍为Y=-1
当K为任意值时:MN:y=kx+1 y=0.25x^2 x^2-4kx-4=0 MN^2=(x1-x2)^2+(Y1-Y2)^2
=(1+K^2)(X1-X2)^2=(1+k^2)(16k^2+16) MN=4(k^2+1) 以MN为直径的圆 R=2k^2+2
MN 中点 x中=(x1+x2)/2=4k/2=2k y中=kX中+1=2k^2+1
此时该圆的水平切线方程为:y=y中-R=-1
所以存在一条定直线 m,使m与以MN为直径的圆相切,切线方程为 y=-1
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第4问可以用相似来反证,本人研究了半个小时。(纯属独创)来吧:x1^+x2^+8=x1^+x2^+8是永远成立的因为x1乘以x2=-4 所以8=-x1乘以x2 在等式左边分子分母同时乘以四分之一 那么就是 四分之4倍的x1^+四倍的x2^+16+16=(x1+x2)^对吧 16又等于x1^乘以x2^ 那么就可以转化为 四分之(2x1^+4)乘以(2x2^+4)==(x1+x2)^对吧 又因为y1=四分之x1^+1 y2=四分之x2^+1 那么可以换为(y1+1)^除以2分之(x1+x2)^==2分之(x1+x2)^除以(y2+1)^ 对吧!!那么两个三角形相似 角MQN恒等于90度 那么他就必切y=-1这条直线 对吧!!! (智商高的好似会看懂的)呵呵!!!打字好累呀
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2013-05-03
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主要应用初中学习的中位线定理,首先证明MF=MM1,NF=NN1:NF^2=X2^2+(Y2-1)^2=X2^2+Y2^2-2Y2+1=X2^2-4Y2+Y2^2+2Y2+1,又因为Y2=1/4X2^2,所以NF^2=X2^2-4*1/4X2^2+Y2^2+2Y2+1=Y2^+2Y2+1=NN1,同理可得,MF=MM1,由于动圆的圆心在MN中点上,半径为1/2MN=1/2(MF+NF)=1/2(MM1+NN1),所以动圆有一条半径必经过梯形MM1N1N的中位线,由此可知,动圆必与直线Y=-1相切。
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我做过,应该是直线 Y= -1
这需要一个高中知识,这两条已知相等的线段随M1沿Y= -1这条直线运动,会形成这条二次函数。
你可以下载一个几何画板来亲力亲为,相信你的实力,加油。
这需要一个高中知识,这两条已知相等的线段随M1沿Y= -1这条直线运动,会形成这条二次函数。
你可以下载一个几何画板来亲力亲为,相信你的实力,加油。
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