Question

数学问题，急！

如图，三角形ADC和三角形CEB都是等边三角形，A、C、B共线，AC=4cm，CB=2cm，点G、M、H、N分别是AD、AB、BE、ED的中点。
（1）判断四边形GMHN的形状，并证明。
（2）求四边形GMHN的面积。

Answer 1

（1）证明：连接AE、BD
△ADC和△CEB都是等边三角形，所以AC=CD，CE=BC
∠ACE=180-∠BCE=120
∠BCD=180-∠ACD=120
所以∠ACE=∠BCD
因此△AEC≌△DBC。AE=BD
G为AD中点，N为DE中点。所以GN为△ADE中位线
GN∥AE，且GN=AE/2
同理，MH为△ABE中位线
MH∥AE，MH=AE/2
因此GN∥MH，且GN=MH
四边形GMHN一组对边平行且相等，因此是平行四边形
同理，GM为△ABD中位线，GM=BD/2
因为AE=BD，所以GM=GN。
平行四边形GMHN一组邻边相等，所以是菱形
（2）GN为△ADE中位线，因此△DGN∽△DAE，且相似比为1：2
S△DGN=S△DAE/4
同理S△BMH=S△BAE/4
因为S△DAE+S△BAE=S四边形ABED
所以S△DGN+S△BMH=S四边形ABED/4
同理S△AGM+S△EHN=S四边形ABED/4
所以S菱形GMHN=S四边形ABED-S四边形ABED/4-S四边形ABED=S四边形ABED/2
从D作DP⊥AB于P，从E作EQ⊥AB于Q
简单可得RT△ADP和RT△BEQ都是有30度角的直角三角形
AP=AC/2=2，DP=2√3。S△ADP=2√3
BQ=BC/2=1，EQ=√3。S△BEQ=√3/2
PQ=AC+BC-AP-BQ=3
S梯形DPQE=1/2×（DP+EQ）×PQ=9√3/2
S四边形ABED=S△ADP+S△BEQ+S梯形DPQE=7√3
所以S菱形GMHN=7√3/2

Answer 2

四边形GMHN是菱形
面积是（7√3）/2
三角形CDE中 EC=2 CD=4 ∠DCE=60° 得到三角形CED是直角三角形 ∠CDE=90° ∠NDG=∠NDC+∠CDG=30° +60° =90°
根据直角三角形边长公式a^2+b^2=c^2
有直角三角形CED中 DE=√（CD^2-CE^2）=2√3 DN=1/2DE=√3
有直角三角形GDN中 GN==√（GD^2+DN^2）=√7
过G点作GI垂直于AM于点I
可以得到GM=√7
过H点作HJ垂直于MB于点J
可以得到HI=(√3)/2 MH=√7
三角形NEH中，∠NEH=∠NEC+∠BEC=90°+60°=150°
由余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bccosA 得到 NH^2=NE^2+EN^2-2NE*EN cos∠NEH=√3^2+1^2-2*√3*1cos150°=3+1-2√3*（-√3/2）=7 所以NH=√7
（其中cos150°=cos(180°-30°)=-cos30°= -√3/2 ）
所以四边形GMHN是菱形
过点N作NK垂直于MH于点K
菱形GMHN中 ∠NHM=60° 所以HK=1/2MH=√7/2
根据直角三角形边长公式a^2+b^2=c^2
得到直角三角形NKH中高NK=√21/2
所以菱形GMHN的面积=MH*NK=√7*√21/2=（7√3）/2