Question

已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是π／2。（1

若|f（x）-m|≦2在x∈[-π／8，π／8]上恒成立，求m范围

Answer 1

已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是π／2；
若|f（x）-m|≦2在x∈[-π／8，π／8]上恒成立，求m范围
解：f(x)=2cos(2ωx)+sin(2ωx)+1=cotφcos(2ωx)+sin(2ωx)+1
=(1/sinφ)[cos(2ωx)cosφ+sin(2ωx)sinφ]+1
=(1/sinφ)cos(2ωx-φ)+1=(√5)sin(2ωx-arccot2)+1
其中，cotφ=2，sinφ=1/√5，cosφ=2/√5.
T=2π/2ω=π/ω=π/2，故ω=2；于是f(x)=(√5)sin(4x-arccot2)+1
在[-π/8，π/8]上，f(-π/8)=(√5)sin(-π/2-arccot2)+1=-(√5)cos(arccot2)+1=-2+1=-1
f(π/8)=(√5)sin(π/2-arccot2)+1=(√5)cos(arccot2)+1=2+1=3
即在区间[-π/8，π/8]上-1≦f(x)≦3；故要使|f（x）-m|≦2在区间[-π/8，π/8]上恒成立，应使
︱3-m︱≦2恒成立，故-1≦m≦5。