Question

问一道几何题~

如图，已知四边形ABFC中角ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E且CF＝AE。
①试探究：四边形BECF是什么特殊的四边形；
②当角A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形，请回答并证明你的结论。
（图形字母顺序：F C
D
B E A）

Answer 1

(1) BECF是平行四边形
证明：因为∠ACB＝90°，EF垂直BC，所以EF//AC
因为EF平分BC，D是BC的平分点，所以E是AB的平分点，所以BE等于AE，
又因为CF等于AE，则CF等于BE。
BE等于CF，BD等于CD，∠BDE=∠CDF，所以△BDE全等于△CDF，
所以∠EBD=∠FCD
综上可得到四边形BECF是平行四边形
（2）假设四边形BECF是正方形，CB平分∠FBE，所以∠CBE=45°
在直角△BAC中，∠A+∠CBE=90°，所以∠A=45°

Answer 2

证明：①在平行四边形ABCD中，
AB∥CD,AB=CD
∵E、F分别为AB、CD的中点
∴DF=1/2CD,BE=1/2AB
即DF=BE
又∵DF∥BE
∴四边形DEBF是平行四边形
∴DE∥BF
②∵AG∥DB
∴∠DBC=∠G=90°
∴△DBC是直角三角形
∵F为DC的中点
∴BF=1/2DC=FD
由①可知:四边形DEBF是平行四边形
∴四边形DEBF是菱形

Answer 3

解：
EF是BC的垂直平分线，得出CE=BE，BF=CF
EF是BC的垂直平分线，在三角形ACB中，还可得出BE=AE，已知CF＝AE
所以得出：CE=BE=AE，BF=CF=AE（符合菱形判定定理：四条边相等的四边形是菱形）
当角A的大小为45°时，四边形BECF是正方形，证明略。